与虚圆正交

hbghlyj

给定的圆A，半径为AB，
$D$是圆外一点，以$D$为中心可作一圆正交于给定的圆A，其半径为$\sqrt{AD^2-AB^2}$，BD是圆A的切线。

问题：
$D$是圆内一点，会怎样？

$D$是圆内一点，以$D$为中心可作一虚圆正交于给定的圆$A$，其半径为$\sqrt{AD^2-AB^2}=i\cdot BD$，BD垂直于AD。

hbghlyj

圆A与$\odot(D,i\cdot BD)$正交，那么圆A关于$\odot(D,i\cdot BD)$反演不变

关于虚圆$\odot(D,i\cdot BD)$反演就是关于$\odot(D,BD)$反演再关于$D$中心对称。

验证反演不变：圆A上任取点E，关于$\odot(D,BD)$反演到$E'$，再关于$D$中心对称到$E''$，果然还在圆A上。

hbghlyj

$E$到$E''$的变换就是圆$A$上以$D$为中心的对合。
那么$D$关于圆$A$的极线为对合轴。

使用旧帖中的刻画：

isee 发表于 2014-5-27 07:58
点$G$与直线$HJ$分别是关于椭圆对应的极点与极线。
直线$PP'$过$G,P(P')$，故极线$PP'$关于椭圆的极点在$HJ$上也在点$P(P')$的极线上
——即点$I$为极线$PP'$的极点——于是，所有的相切得到证。
然后反过来，看，在对圆$I$极点极线……从而证明圆$I$经过点$H,J$两点。

设AD与圆A交于F、G，就得到：$GE\cap FE''$的轨迹是$D$关于圆$A$的极线。