$(1+\sqrt5)^n$到最近整数的距离可任意小？

hbghlyj

给定$ε>0$，存在$n\inN$，$(1+\sqrt3)^n$到最近整数的距离小于$ε$.
证明：注意到$(1+\sqrt3)^n+(1-\sqrt3)^n\inZ$，$|1-\sqrt3|<1$，取$|(1-\sqrt3)^n|<ε$即可。

给定$ε>0$，存在$n\inN$，$(1+\sqrt5)^n$到最近整数的距离小于$ε$.
证明：

给定$ε>0$，存在$n\inN$，$(1+\sqrt{-5})^n$到最近的$\Bbb Z[i]$的元素的距离小于$ε$.
证明：

睡神

更一般地，$\forall a\in N^*,0<b<1,f(n)=${$(a+b)^n$}无最小值？其中，{$x$}为高斯函数，表示取$x$的小数部分，例如：{$1.25$}$=0.25$