Chevalley–Warning theorem

hbghlyj

《初等数论》潘承洞 潘承彪 著 p156

\[f(x) \equiv 0\pmod m\tag2\]10. 证明: 同余方程 (2) 一定可化为一个次数 $<m$ 的多项式 (包括系数均为 $m$ 的倍数的情形) 的同余方程. 对合数模如何利用第三章 §3习题三第15题来改进这一结果? 11. 证明: 同余方程 (2) 的解数 \[ T=\frac{1}{m} \sum_{l=0}^{m-1} \sum_{x=0}^{m-1} \mathrm{e}^{2 \pi \mathrm{i} l f(x) / m} . \] 由此推出，当 $f(x)=a x-b$ 时, \[ T=\left\{\begin{array}{cc} (a, m), & \text { 当 }(a, m) \mid b ; \\ 0, & \text { 当 }(a, m) \nmid b . \end{array}\right. \] 12. 设 $f\left(x_1, \cdots, x_k\right)$ 是 $x_1, \cdots, x_k$ 的整系数多项式. 证明：同余方程 $f\left(x_1, \cdots, x_k\right) \equiv 0\pmod m$ 的解 $\left\{x_1, \cdots, x_k\right\}$ 的个数 \[ T=\frac{1}{m} \sum_{l=0}^{m-1} \sum_{x_1=0}^{m-1} \cdots \sum_{x_k=0}^{m-1} \mathrm{e}^{2 \pi \mathrm{i} l f\left(x_1, \cdots, x_k\right) / m} \] 进而推出, 当 $f\left(x_1, \cdots, x_k\right)=a_1 x_1+\cdots+a_k x_k-b$ 时, \[ T=\left\{\begin{array}{cc} m^{k-1}\left(a_1, \cdots, a_k, m\right), & \text { 当 }\left(a_1, \cdots, a_k, m\right) \mid b; \\ 0, & \text { 当 }\left(a_1, \cdots, a_k , m\right) \nmid b . \end{array}\right. \]

参考答案在p546

10. 利用第三章习题三第 15 題 (ii) 的结果: $x^m \equiv x^{m-\phi(m)}\pmod m$, 就可把同余方程的次数化为小于 $m$。在合数 模情形，则可利用(iii)的结果. 11. 当 $f(x)=a x-b$ 时, 令 $d=m /(a, m)$. 我们有 \[ \begin{aligned} & \sum_{l=0}^{m-1} \sum_{x=0}^{m-1} \mathrm{e}^{2 \pi i l(a x-b) / m}=\sum_{l=0}^{m-1} \mathrm{e}^{-2 \pi \mathrm{i} l b / m} \sum_{x=0}^{m-1} \mathrm{e}^{2 \pi \mathrm{i} l a x / m} \\ & =m \sum_{\substack{l=0 \\ m \mid l a}}^{m-1} \mathrm{e}^{-2 \pi \mathrm{i} l b / m}=m \sum_{k=0}^{m / d-1} \mathrm{e}^{-2 \pi \mathrm{i} b k d / m} \\ & = \begin{cases}m(a, m), & \text { 当 }(a, m)=m / d \mid b, \\ 0, & \text { 当 }(a, m)=m / d \nmid b .\end{cases} \\ & \end{aligned} \] 12. 方法同上题.

hbghlyj

math.stackexchange.com/questions/1352150
$\mathbb{F}$ 是一个有限域，$f_i\in\mathbb{F}[x_1,x_2,\ldots,x_n]$ 是 $d_i$ 次多项式$(1\leq i\leq r)$，对所有 $i$，$f_i(0,\ldots,0) = 0$.
如果 $n>\sum_{i=1}^r d_i$，那么方程组 $\{f_i = 0\}_{1\leq i \leq r}$ 存在非零解。

证明：
设$q = \left|\mathbb{F}\right|$和$p = \operatorname{char}\mathbb{F}$.
由费马小定理，$\text{方程组 $\{f_i = 0\}_{1\leq i \leq r}$ 的解的个数} \equiv \sum_{x\in\mathbb{F}^n}\prod_{i=1}^r(1-f_i^{q-1}(x)) \pmod p.$
而$\sum_{x\in\mathbb{F}^n}\prod_{i=1}^r(1-f_i^{q-1}(x))$的次数$\sum_{i=1}^rd_i(q-1)<n(q-1)$，所以它在$\mathbb{F}^n$上求和等于0:
\[\sum_{x\in\mathbb{F}^n}\prod_{i=1}^r(1-f_i^{q-1}(x))=0\]
所以$p\mid\text{方程组 $\{f_i = 0\}_{1\leq i \leq r}$ 的解的个数}$
由题设，$(0,0,\dots,0)$是方程组 $\{f_i = 0\}_{1\leq i \leq r}$ 的解，所以方程组 $\{f_i = 0\}_{1\leq i \leq r}$ 的解的个数$>0$.
所以$\text{方程组 $\{f_i = 0\}_{1\leq i \leq r}$ 的解的个数}\geqslant p$.
至少存在 $p-1$ 个非零解！