数列的单调性

睡神

证明或否定：数列$a_n=\left(\dfrac{1}{n}\right)^n+\left(\dfrac{2}{n}\right)^n+\cdots+\left(\dfrac {n}{n}\right)^n$单调递增

realnumber

只要证,对任意给定$i\in N$,$i\le n$有$(\frac{i}{n})^n\le (\frac{i+1}{n+1})^{n+1}$.两边对i求和,即证明了单调递增.
记$f(n)=(n+1)\ln \frac{i+1}{n+1}-n\ln \frac{i}{n}$,求一下导
即要证$f'(n)=\ln \frac{i+1}{n+1}-\ln \frac{i}{n}\ge 0$成立.

睡神

realnumber 发表于 2024-5-3 06:47
只要证,对任意给定$i\in N$,$i\le n$有$(\frac{i}{n})^n\le (\frac{i+1}{n+1})^{n+1}$.两边对i求和,即证明 ...

$(\dfrac{i}{n})^n\le (\dfrac{i+1}{n+1})^{n+1}$这个好像反向了吧？莫非我算错了？

睡神

realnumber 发表于 2024-5-3 06:47
只要证,对任意给定$i\in N$,$i\le n$有$(\frac{i}{n})^n\le (\frac{i+1}{n+1})^{n+1}$.两边对i求和,即证明 ...

噢，重新算了一下，这个是对的！之前我也考虑过这个，可能当时我算错了，非常抱歉😂感谢大佬！