正弦曲线和圆的交点

ZhuYue286

平面内 一个半径为1的圆 和 $\sin x$ 最多仅有两个实交点。这是正确的吗，请问有没有什么直观的解释？
另一个问题是 圆心位于$x$轴的半径为1的圆 和 $n\sin x$ 最多仅有两个实交点。这是否可以证明？

kuing

`n` 是不是打多了？

ZhuYue286

kuing 发表于 2024-5-3 02:37
`n` 是不是打多了？

确实，不好意思，应当为sin x

realnumber

结合图像对称性,方程组$y=\sin x$与$x^2+y^2=1$,只需要证明$0\le x\le  1$有且仅有一解,消区y,记$f(x)=x^2+\sin ^2 x,0\le x\le  1$.由单调以及零点存在定理可证

ZhuYue286

realnumber 发表于 2024-5-3 06:18
结合图像对称性,方程组$y=\sin x$与$x^2+y^2=1$,只需要证明$0\le x\le  1$有且仅有一解,消区y,记$f(x)=x^2+ ...

不一定是单位圆啊

爪机专用

不知道有没有这样的结论：
若函数 y=f(x) 连续可导，且与半径为 r 的圆有三个不同的交点，则 f 上必存在一点使得该点处的曲率半径小于 r ？

hbghlyj

$y=\sin(x)$在$(\frac\pi2,1)$的曲率为1

hbghlyj

爪机专用 发表于 2024-5-3 01:43
若函数 y=f(x) 连续可导，且与半径为 r 的圆有三个不同的交点，则 f 上必存在一点使得该点处的曲率半径小于 r ？

曲率定义需要函数二阶可导吧？