有关垂心四面体的几何不等式

lihpb

垂心四面体的重心G到各顶点Ai的距离平方和小于等于垂心H到各顶点Ai的距离平方和，（i=1,2,3,4）
等号成立的充要条件是该垂心四面体的外心O和重心G重合

kuing

到各顶点平方和的最小点就是重心啊，不需要垂心四面体，也不需要 H，任意四面体、任意点都行。

因为 `\vv{GA}_1+\vv{GA}_2+\vv{GA}_3+\vv{GA}_4=\bm0`，所以对任意一点 `P` 有
\begin{align*}
PA_1^2+PA_2^2+PA_3^2+PA_4^2&=\sum_{i=1}^4\bigl(\vv{PG}+\vv{GA}_i\bigr)^2\\
&=4PG^2+\sum_{i=1}^4GA_i^2\\
&\geqslant GA_1^2+GA_2^2+GA_3^2+GA_4^2.
\end{align*}

kuing

对了，上次这帖 kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=11855 其实已经写过了，还有具体的表达式。

hejoseph

距离平方和一般都不是什么难事，而且还有加权的结果：如果点 $Q$ 是空间任意点，点 $P$ 对四面体 $ABCD$ 的重心坐标是 $s:t:u:v$，则
\[
sQA^2+tQB^2+uQC^2+vQD^2=sPA^2+tPB^2+uPC^2+vPD^2+(s+t+u+v)PQ^2
\]
由此可见当 $s$、$t$、$u$、$v$ 都是非负时点 $P$ 就是 $sQA^2+tQB^2+uQC^2+vQD^2$ 取得最小值的点 $Q$ 的位置，并且此时
\[
sQA^2+tQB^2+uQC^2+vQD^2=\frac{stAB^2+suAC^2+svAD^2+tuBC^2+tvBD^2+uvCD^2}{s+t+u+v}
\]
由上面的结论，显然 $t=u=v=w>0$ 时取得最小值的点 $Q$ 就是四面体的重心。