抛硬币的概率

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甲、乙两人来玩掷硬币的游戏：开始时甲、乙分别有两枚硬币，由甲先掷一枚，若硬币正面朝上，则把硬币留着；若硬币反面朝上，则把硬币交给乙，甲掷完之后轮到乙来掷，规则同甲，乙掷完又轮到甲来掷，如此反复直到最后有一个人的硬币全部交给对方，记该人为负，则甲取胜的概率为__________

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设当轮到某一方掷，且其手上有 `k` 个硬币时，他最终获胜的概率为 `p_k`，由于硬币共四个，所以 `p_4=1`，开始时一人两个，所以求的是 `p_2`。

以下用 A、B 代表甲、乙或者乙、甲。

当轮到 A 掷，且 A 有 `k` 个硬币时：
如果他掷出正面，则轮到 B，且 B 有 `4-k` 个硬币，B 胜的概率为 `p_{4-k}`，则 A 胜的概率为 `1-p_{4-k}`；
如果他掷出反面，则轮到 B，且 B 有 `5-k` 个硬币，B 胜的概率为 `p_{5-k}`，则 A 胜的概率为 `1-p_{5-k}`。
所以有
\[p_k=\frac12(1-p_{4-k})+\frac12(1-p_{5-k}),\]
代 `k=1`, `2`, `3` 得方程组
\[\led
p_1&=\frac12(1-p_3)+\frac12(1-1),\\
p_2&=\frac12(1-p_2)+\frac12(1-p_3),\\
p_3&=\frac12(1-p_1)+\frac12(1-p_2),
\endled\]
解得
\[p_1=\frac17,~p_2=\frac37,~p_3=\frac57.\]