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我认为题主已经仔细想过这些问题了. 想不通很正常, 因为这部分写得就是很烂. 功利地看, 正常的中学生都会这一类概念糊弄地学过去且考试时不会遇到麻烦, 所以没必要教懂他们. 但我还是倾向于将此概念讲明白.
文中所谓"序关系"的定义本身就有问题, 因为对预序集而言, $a\leq b$ 且 $b\leq a$ 就无法推出 $a=b$. 进而符号 $<$ 与 $>$ 也是无意义的. 从"$a<b$, $a=b$, $a>b$ 有且仅有一者成立"一句可以看出, 此章通篇讲的都是全序集, 作者理应在章首直截了当地定义之; 但却在"从抽象代数的角度..."处方才勉强地给了注释. 同时这些概念和"抽象代数"没太大关系, 只能说是部分本科生是在抽象代数课上首次接触到此概念. 但凡论及的集合结构不是很古怪, 全序集的确就是贴近生活的逻辑概念.
正式的数学名词是"预序集""偏序集""全序集"与"良序集", 并且描述的对象是 $(\text{集合}, \text{二元关系})$ 这个二元组, 脱离集合与定义的 "$\leq$" 是没有意义的. 以下排除空集 (实际上, 从范畴论的美学角度上看, 空集不能被排除.), 先明确几个定义:
偏序集 (常见, 初高中阶段并非特别常用): 包含非空集合 $S$ 与映射 $\varphi :S\times S\to \{0,1\}$, 映射满足以下条件:
(1) $\varphi (s,s)=1$;
(2) 若 $\varphi (s,t)=\varphi (t,q)=1$, 则 $\varphi(s,q)=1$;
(3) 若 $\varphi(s,t)=\varphi(t,s)=1$, 则 $s=t$.
通常将 $\varphi(s,t)=1$ 写作 $s\leq t$.
注: 之所以用集合与映射定义, 是为了避免循环论证. 虽然中学生不知"集合"与"映射"的严格定义, 但解释起来也清楚多了. 以及我可以确保以上定义与常用的集合论 (ZF 公理体系) 没有冲突.
预序集 (不常见): 仅满足偏序集定义的前两条. 对预序集而言, "$s\leq t$ 且 $t\leq s$" 是等价关系, 从而相应的等价类构成偏序集. 预序集与偏序集仅有一步之遥.
全序集 (初高中常用): 称 $(S,\varphi)$ 是全序的, 当且仅当其满足以下条件:
(1) $(S,\varphi)$ 是偏序集;
(2) 对任意 $s,t\in S$, 总有 $\varphi(s,t)=1$ 或 $\varphi(t,s)=1$.
良序集 (不常用, 但科普文献经常提及): 称 $(S,\varphi)$ 是良序的, 当且仅当其满足以下条件:
(1) $(S,\varphi)$ 是全序集;
(2) 任意子集 $T\subset S$ 包含一个最小元, 换言之, 存在 $t\in T$ 使得 $\varphi:\{t\}\times (T\setminus\{t\})\to \{0\}$.
事实: 预序集, 偏序集, 全序集, 良序集的条件依次增强.
预序但非偏序: 非零整数与整除关系. 此处 $-1$ 与 $1$ 互相整除但并不相等.
偏序但非全序: 整数集的全体子集与包含关系. 容易验证.
全序但非良序: 有理数集与通常的大小关系. 正有理数构成的子集没有极小元.
注: "大小关系"这一表述易懂但不严谨, 因为有理数域上有可数种互不等价的赋值. 称作 Archimedean 序倒是没有歧义, 并且 Archimedean 及其所处的时代背景是为大部分学生所了解的.
猜想题主的目标是给域 $(\mathbb C,0,+,1,\cdot)$ 建立一个全序关系, 使得以下条件满足:
(a) 若 $a<b$, 则 $a+c<b+c$;
(b) 若 $a<b$ 且 $0<c$, 则 $ac<bc$.
此处的加法与乘法是通常意义下的, 这也是"全序与域上的代数结构相容"的具体表述. 下面证明该全序关系不存在.
证明: 依照全序的定义与 (a), 那么 $i<0$ 与 $-i<0$ 有且仅有一者成立. 不妨设 $i<0$. 此时依照 (b), 有
$$
i\cdot (-i)\cdot (-i)<0\cdot (-i)\cdot (-i).
$$
得 $-i<0$, 矛盾.
因此, $\mathbb C$ 上不存在与代数结构相容的全序结构. |
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hejoseph
发表于 2024-5-14 15:45
hbghlyj
发表于 2024-5-17 02:25
