一道代数求值题

lemondian

求一道代数求值的解法
已知$(x+y+z)(\dfrac{1}{x+y-5z}+\dfrac{1}{y+z-5x}+\dfrac{1}{z+x-5y})=\dfrac{9}{5}$，求$(x+y+z)(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z})$的值。

hejoseph

令
\begin{align*}
f(x,y,z)={}&5(x+y+z)((x+y-5z)(x+z-5y)\\
&{}+(x+y-5z)(y+z-5x)\\
&{}+(x+z-5y)(y+z-5x))\\
&{}-9(x+y-5z)(x+z-5y)(y+z-5x)
\end{align*}
显然 $f(x,y,z)$ 是全对称多项式，因此可设
\[
f(x,y,z)=a(x^3+y^3+z^3)+b(x^2y+xy^2+x^2z+xz^2+y^2z+yz^2)+cxyz
\]
取 $x=y=0$，$z=1$，则 $f(x,y,z)=0$，$f(x,y,z)=a$，所以 $a=1$。取 $x=y=1$，$z=0$，则 $f(x,y,z)=-288$，$f(x,y,z)=2a+2b$，所以 $b=-144$。取 $x=y=z=1$，则 $f(x,y,z)=648$，$f(x,y,z)=3a+6b+c$，所以 $c=1512$。由此可得
\[
-144(x^2y+xy^2+x^2z+xz^2+y^2z+yz^2)+1512xyz=0
\]
即
\[
\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{x}{z}+\frac{z}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y}=\frac{21}{2}
\]
所以
\begin{align*}
(x+y+z)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)&=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{x}{z}+\frac{z}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y}+3\\
&=\frac{21}{2}+3=\frac{27}{2}
\end{align*}

kuing

令
\[a=\frac{x+y+z}{x+y-5z}\]
等三式，则有
\[a+b+c=\frac95\]
且
\[\sum\frac1a=\frac{\sum(x+y-5z)}{x+y+z}=-3,\]
因此
\[ab+bc+ca=-3abc,\]
又由
\[a=\frac{\frac{x+y+z}z}{\frac{x+y+z}z-6}\riff\frac{x+y+z}z=6+\frac6{a-1},\]
故
\begin{align*}
\text{所求}&=18+6\sum\frac1{a-1}\\
&=18+6\cdot\frac{ab+bc+ca-2(a+b+c)+3}{abc-ab-bc-ca+a+b+c-1}\\
&=18+6\cdot\frac{-3abc-\frac{18}5+3}{4abc+\frac95-1}\\
&=\frac{27}2.
\end{align*}

kuing

回楼上 @isee 点评：

是竞赛中常见的类型么？

我不知道，我觉得属于简单题，无所谓啦。
还可以这样解：
由于已知等式及所求式都是零次齐次式，故可以不妨设 `x+y+z=1`，那条件就变成
\[\sum\frac1{1-6x}=\frac95,\]
去分母化简立得
\[-2(xy+yz+zx)+27xyz=0,\]
即
\[\sum\frac1x=\frac{27}2,\]
这就是所求。

就去分母那一步有那么点点计算量，但相比上面的就直接了当很多。

isee

kuing 发表于 2024-5-14 17:20
回楼上 @isee 点评：
我不知道，我觉得属于简单题，无所谓啦。
还可以这样解：

这正好是齐次式最常用处理手法（竞赛中）