两道立体几何

hjfmhh

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kuing

由条件得 `\theta=\pi/2-\gamma`，所求式 `\sin(\gamma-\theta)=-\cos2\gamma`。

在 `l` 上取一点 `O`，过 `O` 分别作平面 `\alpha`, `\beta` 的垂线 `l_1`, `l_2`，则 `l\perp l_1` 且 `l\perp l_2`，由 `AB` 与两平面所成角均为 `\theta` 可知 `AB` 与 `l_1`, `l_2` 所成角均为 `\pi/2-\theta`，也就是说，`AB` 与三条直线 `l`, `l_1`, `l_2` 所成角均为 `\gamma`。

由于平移不改变直线所成角，不妨平移 `AB` 使之过 `O`，在 `AB` 上取一点 `P` 使得 `OP=1`，设 `P` 在三条直线上的投影分别为 `C`, `D`, `E`，在平面 `DOE` 上的投影为 `H`，如下图。

由二面角 `\alpha`-`l`-`\beta\in[\pi/4,\pi/3]` 可知 `\angle DOE\in[\pi/4,\pi/3]`，而显然 `OH` 平分 `\angle DOE`，故由上图有
\[\cos\frac{\angle DOE}2=\frac{OD}{OH}=\frac{\cos\gamma}{\sin\gamma}=\cot\gamma,\]
所以
\[\cot\gamma\in\left[\cos\frac\pi6,\cos\frac\pi8\right],\]
那么
\[-\cos2\gamma=\frac{1-\cot^2\gamma}{1+\cot^2\gamma}\in\left[\frac{7-4\sqrt2}{17},\frac17\right],\]
所以选 B。

realnumber

用向量解时，似乎有不同结果，
记面$\alpha$面$\beta$的一个单位法向量分别为$\vv{n_1}，\vv{n_2}$，l，AB的单位方向向量分别为$\vv{m},\vv{p}=x\vv{n_1}+y\vv{n_2}+z\vv{m}$,$\delta=<\vv{n_1},\vv{n_2}>\in [ \frac{\pi}{4} ,\frac{\pi}{3} ]$
由$\abs {\vv{p}}=1 \iff x^2+y^2+z^2+2xy\cos{\delta}=1$-----(1)
由$\abs{\cos <\vv{p},\vv{m}>}=\abs{\cos <\vv{p},\vv{n_1}>}=\abs{\cos <\vv{p},\vv{n_2}>}$得x=y或x=-y,在x=y时，解得2楼结果，但x=-y时，似乎有更大的值，$1-\frac{2}{5+2\sqrt{2}}$不晓得错在哪？

kuing

realnumber 发表于 2024-5-31 15:40
用向量解时，似乎有不同结果，
记面$\alpha$面$\beta$的一个单位法向量分别为$\vv{n_1}，\vv{n_2}$，l，AB ...

写详细一点呗

初步判断：`\delta=\langle\bm n_1,\bm n_2\rangle\in [ \frac{\pi}{4} ,\frac{\pi}{3} ]` 这里有问题，因为法向量有两个方向，这里 `\delta` 就可以是钝角。（估计与 x=-y 相对应）