单位球面上的曲线 $C$ 的长度小于 $2π$，则 $C$ 包含在一个半球内。

hbghlyj

单位球面上的曲线 $C$ 的长度小于 $2π$，则 $C$ 包含在一个半球内。

Czhang271828

这显然不对. 例如对径点 $\{N,S\}$ 的球面距离是 $\pi$, 可以用剩下的长为 $\pi$ 的曲线围出 $N$ 与 $S$ 的开邻域边界. 这样任何半球无法覆盖该线条.

猜测原题应该是 $\ell(C)<\pi$ 或者 $C$ 是闭曲线 (强于 $\ell(C)<\pi$). 以下考虑 $C$ 是闭曲线的情形. 由于题中未提及半球面的开闭, 以下证明条件严格一些的开半球面.

以下假定 $\ell(x,y)$ 是球面距离. 由于紧集上的连续函数有最大值, 存在 $x,y\in C$ 使得 $\ell(x,y)$ 取达最大值. 此时 $\ell(x,y)<\pi$ (取等显然矛盾). 取连接 $x$ 与 $y$ 的最短劣弧之中点 $z$, 下断言以 $z$ 为中心的半球面覆盖 $C$. 若不然, 半球面的边界与 $C$ 有交点 $w$, 此时 $x$ 关于半球面边界的反射点 $\widetilde x$ 是 $y$ 的对径点, 因此依照将军饮马模型有
$$
\frac 12\ell(C)\geq \ell(x,w)+\ell(y,w)\geq \ell(\widetilde x,y)=\pi.
$$
从而与 $\ell(x,y)$ 的极大性矛盾.

hbghlyj

Czhang271828 发表于 2024-5-26 13:49
例如对径点 $\{N,S\}$ 的球面距离是 $\pi$, 可以用剩下的长为 $\pi$ 的曲线围出 $N$ 与 $S$ 的开邻域边界. 这样任何半球无法覆盖该线条.

明白了！

是这样吗：import three;
size(200);
draw(unitsphere,white+opacity(.1));
draw(circle(Cos(10)*Z,Sin(10),Z));
draw(circle(-Cos(10)*Z,Sin(10),Z));
draw(arc(O,Cos(10)*Z+Sin(10)*X,-Cos(10)*Z+Sin(10)*X));
label("$N$",Z,N);
label("$S$",-Z,S);

hbghlyj

Czhang271828 发表于 2024-5-26 13:49
猜测原题应该是 $\ell(C)<\pi$ 或者 $C$ 是闭曲线 (强于 $\ell(C)<\pi$).

为什么“$C$ 是闭曲线”强于 $\ell(C)<\pi$ 呢？

Czhang271828

hbghlyj 发表于 2024-5-28 01:05
为什么“$C$ 是闭曲线”强于 $\ell(C)<\pi$ 呢？

若 $C$ 是长度小于 $\pi$ 的曲线, 则 $C$ 视同长度小于 $2\pi$ 的闭曲线. 重复走一遍路就行了.

hbghlyj

Czhang271828 发表于 2024-5-26 13:49
$$
\frac 12\ell(C)\geq \ell(x,w)+\ell(y,w)\geq \ell(\widetilde x,y)=\pi.
$$

为什么 $\frac 12\ell(C)\geq \ell(x,w)+\ell(y,w)$ 呢？

Czhang271828

hbghlyj 发表于 2024-5-30 16:19
为什么 $\frac 12\ell(C)\geq \ell(x,w)+\ell(y,w)$ 呢？

经这么一提醒, 好像有更简易的做法.

记 $\ell_C(x_1,x_2)$ 为 $x_1,x_2\in C$ 在 $C$ 上的距离, 自然有 $\ell_C(x_1,x_2)\geq \ell(x_1,x_2)$.

此时存在 $x,y\in C$ 使得 $\ell_C(x,y)=\frac{1}{2}\ell(C)$. 同理取 $z$, $w$ 与 $\widetilde x$. 则
$$
\frac 12\ell(C)=\ell_C(x,w)+\ell_C(w,y)\geq \ell(x,w)+\ell(y,w)\geq \ell(\widetilde x,y)=\pi.
$$
从而 $\ell(C)\leq 2\pi$.

hbghlyj

Czhang271828 发表于 2024-5-30 13:39
从而 $\ell(C)\leq 2\pi$.

好像应该是 “从而 $\ell(C)\geq 2\pi$”