Dini's surface 的曲率恒定

hbghlyj

Wikipedia上有 Pseudosphere 变成 Dini's surface 的动画：

如何证明 Pseudosphere\begin{align*}
x &= \cos u \sin v \\
y &= \sin u \sin v \\
z &= \cos v + \ln\left(\tan\frac{v}{2}\right)
\end{align*}可以变成 Dini's surface\begin{aligned}x&=\cos u\sin v\\y&=\sin u\sin v\\z&=\cos v+\ln\left(\tan {\frac {v}{2}}\right)+bu\end{aligned}且曲面的曲率在所有点的改变相同？

好像只是$z$加上了$bu$？这个变换为什么曲率在所有点的改变相同？

hbghlyj

\begin{align*}
r&=(a\cos u\sin v,a\sin u\sin v,a\left(\cos v+\ln \tan \frac {v}{2}\right)+bu)\\
r_u&=(-a\sin u\sin v,a\cos u\sin v,b)\\
r_v&=(a\cos u\cos v,a\sin u\cos v,a\cos v\cot v)\\
E=r_u⋅r_u&=a^2\sin^2 v+b^2\\
F=r_u⋅r_v&=ab\cos v\cot v\\
G=r_v⋅r_v&=a^2\cot^2 v\\
r_u×r_v&=(a\cos v(a\cos u\cos v - b\sin u), a\cos v(a\sin u\cos v + b\cos u), -a^2\sin v\cos v)\\
|r_u×r_v|&=a\cos v\sqrt{a^2 + b^2}\\
n=\frac{r_u×r_v}{|r_u×r_v|}&=\frac{(a\cos u\cos v - b\sin u,a\sin u\cos v + b\cos u, -a\sin v)}{\sqrt{a^2 + b^2}}\\
r_{uu}&=(-a\cos u\sin v,-a\sin u\sin v,0)\\
r_{uv}&=(-a\sin u\cos v,a\cos u\cos v,0)\\
r_{vv}&=(-a\cos u\sin v,-a\sin u\sin v,-a\cos v(1+\csc^2 v))\\
e=r_{uu}⋅n&=-\frac{a^2 \cos v \sin v}{\sqrt{a^2 + b^2}}\\
f=r_{uv}⋅n&=\frac{ab \cos v}{\sqrt{a^2 + b^2}}\\
g=r_{vv}⋅n&=\frac{a^2 \cot v}{\sqrt{a^2 + b^2}}\\
K=\frac{eg-f^2}{EG-F^2}&=-\frac1{a^2+b^2}
\end{align*}可以化简到很短，神奇

hbghlyj

对“球面”可以类似作变换吗？
\begin{align*}
x &= \cos u \sin v \\
y &= \sin u \sin v \\
z &= \cos v
\end{align*}
变成
\begin{align*}
x &= \cos u \sin v \\
y &= \sin u \sin v \\
z &= \cos v+bu
\end{align*}
ParametricPlot3D[{Cos[u] Sin[v], Sin[u] Sin[v], Cos[v] + 0.2 u}, {u, -pi, pi}, {v, 0, pi}]

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2024-5-28 09:25
对“球面”可以类似作变换吗？

对“球面”类似作变换的话，
\begin{align*}
r&=(a\cos u\sin v,a\sin u\sin v,a\cos v+bu)\\
r_u&=(-a\sin u\sin v,a\cos u\sin v,b)\\
r_v&=(a\cos u\cos v,a\sin u\cos v,-a\sin v)\\
E=r_u⋅r_u&=a^2\sin^2 v+b^2\\
F=r_u⋅r_v&=-ab\sin v\\
G=r_v⋅r_v&=a^2\\
r_u×r_v&=(-a(a\cos u\sin^2 v+b\sin u\cos v), a(-a\sin u\sin^2 v + b\cos u\cos v), -a^2\sin v\cos v)\\
|r_u×r_v|&=a\sqrt{a^2\sin^2 v+b^2\cos^2 v}\\
n=\frac{r_u×r_v}{|r_u×r_v|}&=\frac{(-(a\cos u\sin^2 v+b\sin u\cos v), (-a\sin u\sin^2 v + b\cos u\cos v), -a\sin v\cos v)}{\sqrt{a^2\sin^2 v+b^2\cos^2 v}}\\
r_{uu}&=(-a\cos u\sin v,-a\sin u\sin v,0)\\
r_{uv}&=(-a\sin u\cos v,a\cos u\cos v,0)\\
r_{vv}&=(-a\cos u\sin v,-a\sin u\sin v,-a\cos v)\\
e=r_{uu}⋅n&=\frac{a^2\sin^3 v}{\sqrt{a^2\sin^2 v+b^2\cos^2 v}}\\
f=r_{uv}⋅n&=\frac{ab\cos^2 v}{\sqrt{a^2\sin^2 v+b^2\cos^2 v}}\\
g=r_{vv}⋅n&=\frac{a^2\sin v}{\sqrt{a^2\sin^2 v+b^2\cos^2 v}}\\
K=\frac{eg-f^2}{EG-F^2}&=\frac{a^2\sin^4 v-b^2\cos^4 v}{(a^2\sin^2 v+b^2\cos^2 v)^2}
\end{align*}
当$b\ne0$时$K$和$v$有关，不是恒定的.
当$b=0$时是恒定的$a^{-2}$.（球）