求$f_{10}(x)=2024$的所有实数解

Zach

设$ f_1(x)=\sqrt{x} ，f_2(x)=\sqrt{x+\sqrt{x}}, f_3(x)=\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}，$...

求$f_{10}(x)=2024$的所有实数解（四舍五入到整数字）

Czhang271828

解只能是正实数. 观察知每一 $f_n(x)$ 在 $x> 0$ 上严格单调递增, 且 $\{f_n(x_0)\}_{n\geq 1}$ 对每一 $x_0\in \mathbb R_+$ 单调递增至不动点 $\sqrt{x_0+g(x_0)}=g(x_0)$, 解得
$$
g(x_0)=\sqrt{x_0+\frac 14}+\frac 12.
$$
由于 $g$ 由于全体 $x_0$ 的取值唯一决定, 从而 $g(x)=\sqrt{x+1/4}+1/2$ 是 $\mathbb R_+$ 上严格单增的. 直接计算表明
$$
f_{10}^{-1}(2024)>g^{-1}(2024)=2024\cdot 2023.
$$
随后是计算误差, 即等式 $f_{10}(2024\cdot 2023+\varepsilon)=g(2024\cdot 2023)$ 中应有 $0<\varepsilon <1$​.

$\varepsilon >0$ 是单调性的结果, 下证明 $\varepsilon <1$. 实际上只需证明更强的
$$
f_{10}(2024\cdot 2023+1)>f_{2}(2024\cdot 2023+1)>2024.
$$
第二处不等式即
$$
\sqrt{2024\cdot 2023+1+\sqrt{2024\cdot 2023+1}}>2024.
$$
平方, 移项, 得 $\sqrt{2024\cdot 2023+1}>2023$. 不等式成立.

最终答案 $2024\cdot 2023=4094552$.