小伙改编概率题一

realnumber

外观一样编号为1~5的5个箱子,仅一个有奖品.选手第一次随机选一个,主持人从余下的4个箱子中,随机撤走一个空箱,选手重新选择一个得奖概率最高的箱子, 主持人再撤走一个空箱,选手再重新选一个箱子,主持人再次撤走一个空箱,若主持人每次撤走的箱子恰好为选手通过概率计算算出的最有可能被撤走的箱子,此时余下的两个箱子有奖的概率分别为_____________.

答案:1/3,2/3



叙述有改进,或怎么解的,请回复

改编自课本的那个美国电视节目游戏,三个门,仅一扇门后有一辆车,其余2扇空的,选手随机选一扇,主持人从余下的门中打开一扇空门,问选手选那扇门,结论是这样,选手不改变选择,那么中奖概率是1/3,选手改变选择(即选另一扇未打开的门),中奖概率是2/3,
     

realnumber

19.一家新开的溴水厂通过一轮生产n瓶溴水(n∈Z+)并检测合格瓶数m(0≤m≤n,m∈Z)算出估计值k来估计本轮生产真实的合格率q.假定一轮生产中,q不变且合格瓶数x符合二项分布,即x~B(n,q).回答以下小题:
(1)若已知某一轮生产中,q∈[0.99,1],
        (i)若n=m=58,则k=1合理吗?
         (ii)若n=((100!)!)!,m=0.9985n,则k=0.9985,合理吗?
(2)对于某一轮生产,定义误差d=(q-k)2.
已知可定义q的”和函数”f(x)( x∈[0,1]),满足∀x1≤x2, x1,x2∈[0,1],P(x1≤q≤x2)=f(x2)-f(x1),且f(0)=0,来描述P(q=x)( x∈[0,1]).
(i)若在某轮生产后,q的”和函数”$f(x)=x^2$, x∈[0,1],求k,使得d的期望值最小及此时d的期望值.
(ii)若在某轮生产前,q的”和函数”f(x)=x, x∈[0,1],则在这轮生产后,求k,使得d的期望值最小(用含m,n的初等函数表示).


答案:不合理,合理,k=2/3,d=1/18,(m+1)/(n+2)

战巡

realnumber 发表于 2024-6-1 22:04
19.一家新开的溴水厂通过一轮生产n瓶溴水(n∈Z+)并检测合格瓶数m(0≤m≤n,m∈Z)算出估计值k来估计本轮生产 ...

(1)(i)怎么可能不合理？
做假设检验：$H_0: k=1$，$H_a:$非$H_0$
请问你这个样本情况，推得翻上面这个零假设么？明摆着无法推翻啊，不可能显著的

那你凭什么说它不合理？！

战巡

realnumber 发表于 2024-6-1 22:04
19.一家新开的溴水厂通过一轮生产n瓶溴水(n∈Z+)并检测合格瓶数m(0≤m≤n,m∈Z)算出估计值k来估计本轮生产 ...

昨天半夜没时间看全，现在继续吐槽：

（2）什么“和函数”啊？一看就啥也不懂，瞎jb乱搞！
这玩意本来就有专业名称的，叫做“累积分布函数”（Cumulative Distribution Function）（CDF），对任意一元的分布，均可定义CDF：
\[F(x)=P(X\le x)\]

这些问题只要稍微学过贝叶斯分析的，就属于基础题，按套路走就完事了

(2)(i)这个问题等同于：$q$有后验分布，其$CDF$为$F(x)=x^2, 0\le x\le 1$，然后求其在平方损失函数下的贝叶斯估计量，要按我们专业，闭着眼睛都知道是后验分布的均值，即
\[k=\hat{q}=E(q)=\int_0^1x\cdot \frac{d}{dx}F(x)dx=\int_0^12x^2dx=\frac{2}{3}\]
然后
\[E[(k-q)^2]=Var(q)=E(q^2)-E(q)^2=\int_0^1x^2\frac{d}{dx}F(x)dx-(\frac{2}{3})^2=\int_0^12x^3dx-(\frac{2}{3})^2=\frac{1}{18}\]

至于为啥在平方损失函数下的贝叶斯估计量会是后验分布均值，这里可以证明：
假设一个参数$\theta$的后验分布有PDF：$f(\theta)$，对于平方损失函数，我们要找到贝叶斯估计量$\hat{\theta}$使得，$L(\hat{\theta})=E[(\hat{\theta}-\theta)^2]$最小
于是
\[L(\hat{\theta})=E[(\hat{\theta}-\theta)^2]=\int_{-\infty}^{\infty}(\hat{\theta}-\theta)^2f(\theta)d\theta\]
\[\frac{d}{d\hat{\theta}}L(\hat{\theta})=\int_{-\infty}^{\infty}2(\hat{\theta}-\theta)f(\theta)d\theta=0\]
\[\hat{\theta}\int_{-\infty}^\infty f(\theta)d\theta=\int_{-\infty}^{\infty}\theta f(\theta)d\theta=E(\theta)\]
注意$\int_{-\infty}^{\infty}f(\theta)d\theta=1$，因此
\[\hat{\theta}=E(\theta)\]

至于此时的$L(\hat{\theta})$，当然是
\[L(\hat{\theta})=E[(E(\theta)-\theta)^2]=Var(\theta)\]

至于(2)(ii)，那不就是先验分布有CDF：$F(x)=x,0\le x\le 1$，然后给定样本，规定使用平方损失函数，然后求贝叶斯估计

那好办啊，先求后验分布呗
首先你这个先验就会有PDF为$f(x)=\frac{d}{dx}F(x)=1$，明摆着均匀分布

那么后验分布有
\[f(q|m,n)=\frac{f(m,n|q)f(q)}{f(m,n)}\]
这里面$f(q)=1$为$q$的先验分布PDF，然后
\[f(m,n|q)=C_n^mq^m(1-q)^{n-m}\]
这就知道
\[f(q|m,n)=\frac{C_n^mq^m(1-q)^{n-m}}{f(m,n)}\propto q^m(1-q)^{n-m}\]
即
\[(q|m,n)\sim Beta(m+1,n-m+1)\]
那当然有
\[k=\hat{q}=E(q|m,n)=\frac{m+1}{(m+1)+(n-m+1)}=\frac{m+1}{n+2}\]