学生提的一个勾股数的问题求助

郝酒

学生给出了一道题：含有$234378290000a$的勾股数组共有3494（这个数字记得不确切了）组，这些组中和最大是多少？
但是要找出所有含$234378290000a$的勾股数让我犯了难。学生说这个有一个公式，但是我感觉他那个公式不对。
我想的是把$234378290000$分解$234378290000=29^{3}31^{2}2^{4}5^{4}$，然后对其每一个因数，寻找本原勾股数，在乘一个系数得到结果。但是这个因子的个数太多了，很难算感觉。
写了个程序直接暴力穷举：

1. def find_pythagorean_triples(n):
2.     triples = []
3.     limit = int(( 2 * n ) ** 0.5 ) + 1
4.     print(limit)
5.     for m in range(1,limit):
6.         print(m)
7.         for k in range(1, n // m + 1):
8.             for n1 in range(1,m):
9.                 a = k * (m ** 2 - n1 ** 2)
10.                 b = k * (2 * m * n1)
11.                 c = k * (m ** 2 + n1 ** 2)
12.                 if a == n or b == n or c == n:
13.                     triples.append(sorted((a,b,c)))
14.                 if a > n and b > n and c > n:
15.                     break
16.     return triples
18. n = 324378290000
19. triples = find_pythagorean_triples(n)
20. print(len(triples))
21. print(triples)

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根本就算不动，求助群里的大侠，看有没有什么好办法。

kuing

呃，弱弱地想问一下，“含$234378290000a$的勾股数”是啥意思，`a` 又是啥？

PS、这是高等数学问题吗？

青青子衿

好像可以将原问题转化为求三个不定方程正整数解组数之和的问题
先不考虑倍数a，直接看整数324378290000
当324378290000为整数直角三角形的斜边长时，满足$m^2+n^2=324378290000$
当324378290000为整数直角三角形的直角边长时，满足$2mn=324378290000$或$m^2-n^2=324378290000$

二平方和的正整数解组数公式等于
\begin{aligned}
N&=2^{\gamma}p_{1}^{\alpha_1}p_{2}^{\alpha_2}\cdots\,\!p_{s}^{\alpha_s}q_{1}^{\beta_1}q_{2}^{\beta_2}\cdots\,\!q_{t}^{\beta_t}\\
p_{i}&\equiv1\pmod{4}\\
q_{i}&\equiv3\pmod{4}\\
\\
r_{2*}^{+}(N)&=\operatorname{Card}\{(x,y)\in\mathbb{Z}_{+}^2|x^2+y^2=N\land\,x\le\,y\}\\
&=\frac{\delta(N) +\xi(N) }{2}\\
\delta(N) &=\left[\prod_{i=1}^{s}\left(\alpha_{i}+1\right)\right]\left[\prod_{j=1}^{t}\frac{(-1)^{\beta_{j}}+1}{2}\right], \\
\xi(N)&=(-1)^\gamma\left[\frac{(-1)^{\prod\limits_{i=1}^{s}(\alpha_i+1)}-1}{2}\right]\left[\prod\limits_{j=1}^{t}\frac{(-1)^{\beta_j}+1}{2}\right].
\end{aligned}

平方差的情形好像有Volpicelli公式
zhihu.com/question/63620895/answer/1749896564

郝酒

青青子衿 发表于 2024-6-10 14:49
好像可以将原问题转化为求三个不定方程正整数解组数之和的问题
先不考虑倍数a，直接看整数324378290000
当3 ...

谢谢青青子衿，我拿这个公式算一下。
$2mn=234378290000$和$m^2-n^2=234378290000$会不会右重复的呢？

郝酒

借助青青子衿的提示，算到了这一步：
①设$m^2+n^2=234378290000$
$N=2^{\gamma}p_{1}^{\alpha_1}p_{2}^{\alpha_2}\cdots\,\!p_{s}^{\alpha_s}q_{1}^{\beta_1}q_{2}^{\beta_2}\cdots\,\!q_{t}^{\beta_t}$
$p_{i}\equiv1\pmod{4}$
$q_{i}\equiv3\pmod{4}$

$r_{2*}^{+}(N)=\operatorname{Card}\{(x,y)\in\mathbb{Z}_{+}^2|x^2+y^2=N\land\,x\le\,y\}=\frac{\delta(N) +\xi(N) }{2}$
$\delta(N)=\left[\prod\limits_{i=1}^{s}\left(\alpha_{i}+1\right)\right]\left[\prod\limits_{j=1}^{t}\frac{(-1)^{\beta_{j}}+1}{2}\right],$
$\xi(N)=(-1)^\gamma\left[\frac{(-1)^{\prod\limits_{i=1}^{s}(\alpha_i+1)}-1}{2}\right]\left[\prod\limits_{j=1}^{t}\frac{(-1)^{\beta_j}+1}{2}\right]$
其中$\gamma=4,p_1=5,\alpha_1=4,p_2=29,\alpha_2=3,q_1=31,\beta_1=2$.
$\delta(234378290000)=(4+1)(3+1)=20$
$\xi(234378290000)=(-1)^4\times 0\times 1=0$
所以$r_{2*}^+(234378290000)=10$.

② 设$m^2-n^2=234378290000$
Volpicelli公式
$N=2^\alpha {p_1}^{\beta_1} {p_2}^{\beta_2} \cdots {p_n}^{\beta_n}$
$$\operatorname{Card}\{(x,y)\in\mathbb{Z}_{+}^2,x^2-y^2=N\}=\begin{cases}\frac{1}{2}(-1)^{2^\alpha}(\alpha-1)\prod\limits_{k=1}^n(\beta_k+1)&\mathrm{one\;of\;}\alpha,\beta_k\mathrm{\;is\;odd}\\\frac{1}{2}\left[-1+(-1)^{2^\alpha}(\alpha-1)\prod\limits_{k=1}^n(\beta_k+1)\right]&\alpha,\beta_k \mathrm{\;is\; even}\end{cases}$$
其中$\alpha=4,p_1=5,\beta_1=4,p_2=29,\beta_2=3,\beta_3=31,\beta_3=2$
所以$\operatorname{Card}\{(x,y)\in\mathbb{Z}_{+}^2,x^2-y^N\}=\frac{1}{2}(4-1)(4+1)(3+1)(2+1)=90$.

③$2mn=234378290000$
得$mn=2^{3}5^{4}29^{3}31^{2}$，其中$m>n$的解的个数是$\frac{(3+1)(4+1)(3+1)(2+1)}{2}=120$.

总共为$10+90+120=220$远少于题目所给条件.

接下来对$a$的值进行讨论$a=2^{k_1}5^{k_2}29^{k_3}31^{k_4}p_1^{m_1}\cdots p_t^{m_t}q_1^{n_1}\cdots q_s^{n_s}$，其中$p_i$是与$2,5,29,31$不同的模$4$余$1$的素数，$q_i$是与$2,5,29,31$不同的模$4$余$3$的素数.

郝酒

郝酒 发表于 2024-6-12 11:47
借助青青子衿的提示，算到了这一步：
①设$m^2+n^2=234378290000$
$N=2^{\gamma}p_{1}^{\alpha_1}p_{2}^{\a ...

$m^2-n^2$,$2mn$,$m^2+n^2$是不是只能穷尽互素的勾股数呀，我用Mathematica计算出这220个勾股数，但是好像不全，例如$38793648000^2 + 231145486000^2 = 234378290000^2$就不在这个里面.
原因是他们不互素：$1616402000\times24$,$1616402000\times143$,$1616402000\times145$