两股上中线之锐夹角$θ$的取值范围

Zach

证明：直角三角形$ABC$中，两股上中线$AM,BN$之锐夹角$θ$的取值范围: $0 < θ \leqslant  \arctan\frac{3}{4}$

Czhang271828

设 $C=O$, 弦端点为 $A(2a,0)$ 与 $B(0,2b)$. 那么 $\theta =\angle B\frac{A}{2}C-\angle \frac{B}2AC$. 计算得
$$
\tan\theta=\frac{2b/a-b/2a}{1+2b/a\cdot b/2a}=\frac{1.5 t}{1+t^2}\leq \frac{3}{4}.
$$
取等 $a=b$. 充分接近 $0$ 时如 $\frac{a}{b}\to \infty$.

kuing

如图 1，延长 `AB` 至 `D` 使 `DB=MN`，则 `\theta=\pi-\angle AMD`，设 `O` 为 `AB` 中点，则 `OM\perp BM`，所以当 `AB` 固定，`C` 运动时，`M` 的轨迹是以 `OB` 为直径的圆（除 `O`, `B` 外），于是转化为：

如图 2，`O`, `B` 为 `AD` 的三等分点，动点 `M` 在以 `OB` 为直径的圆（除 `O`, `B` 外），求 `\angle AMD` 的范围。

过 `A`, `D` 作一圆弧使之与那圆相切于 `K`，则 `\angle AMD\geqslant\angle AKD`，当 `M`, `K` 重合时取等，而显然 `\tan(\angle AKD/2)=3`，则 `\tan\angle AKD=(2\times3)/(1-3^2)=-3/4`。

另一方面显然当 `M` 无限接近 `O` 或 `B` 时 `\angle AMD\to\pi`。

所以 `0<\theta\leqslant\arctan(3/4)`。

将“直角 `\triangle ABC`”改为“`\angle C` 的大小固定”，此方法亦适用。