二次曲线约束最值

nttz

已知$x>0,y>0,x^2+3y^2=1,求 3x+y$的范围
数形结合可以直观的表示这个一次函数的在y轴上截距。但是不知道其对应的代数意义，如果设$t=3x+y$,把二次方程中y消去后
得到关于x的含k参数的二次方程，如果没有$x>0,y > 0$的约束，直接可以根据判别式$>=0$,求k的范围，但现在有x的约束
x的区间可以得出$ 0< x <=1$,那么如何获得二次方程在某区间有解的比较好用的等价条件呢? 除了用原始求根公式外有什么好用等价条件么？

kuing

\begin{gather*}
(3x+y)^2\leqslant(x^2+3y^2)\left(9+\frac13\right)=\frac{28}3,\\
(3x+y)^2>3x^2+y^2>\frac13x^2+y^2=\frac13,\\
\riff\frac1{\sqrt3}<3x+y\leqslant2\sqrt{\frac73}.
\end{gather*}

nttz

kuing 发表于 2024-6-22 16:10
\begin{gather*}
(3x+y)^2\leqslant(x^2+3y^2)\left(9+\frac13\right)=\frac{28}3,\\
(3x+y)^2>3x^2+y^2>\f ...

你的第二个式子还是用x趋于0的放缩吧，还是用不等式的思想，我想问的是二次方程的等价问题，比如一元二次方程$f(x)=ax^2+bx+c=0$有一个根大于m，一个根小于m，则等价于$(x_1 - m)(x_2 - m)<0$,展开后得$\frac{f(m)}{a} < 0$,这样条件比较简洁，而不是用求根公式，但是遇到上面得情况，如果是根存在于区间内(m,n],有没有好用的等价条件呢？我只想到$\Delta >=0$
类似的，设m>=n，还有方程一个根不大于m，一个根不小于n的等价条件？
方程的根都在（m，n]范围内的等价条件？
在区间（m，n]存在实数根的等价条件？

nttz

kuing 发表于 2024-6-22 16:10
\begin{gather*}
(3x+y)^2\leqslant(x^2+3y^2)\left(9+\frac13\right)=\frac{28}3,\\
(3x+y)^2>3x^2+y^2>\f ...

碰巧这儿x>0,x趋于0时候，$3x^2$趋于$\frac{1}{3}x^2$,如果x> 0.5呢