距离公式

nttz

公式推导计算有何技巧？第一步就看不懂了啊
另外能否提供下其他的距离公式推导过程么

kuing

那个看不懂就换个吧，用柯西推吧，还能顺便练习一下不等式技巧。

设 `P(x,y)` 为直线 `Ax+By+C=0` 上的任意一点，`P` 到定点 `(x_0,y_0)` 的距离为 `d`，则
\begin{align*}
d^2&=(x-x_0)^2+(y-y_0)^2\\
&=\frac{(A^2+B^2)\bigl((x-x_0)^2+(y-y_0)^2\bigr)}{A^2+B^2}\\
&\geqslant\frac{\bigl(A(x-x_0)+B(y-y_0)\bigr)^2}{A^2+B^2}\\
&=\frac{(Ax_0+By_0+C)^2}{A^2+B^2},
\end{align*}
取等条件为 `A(y-y_0)=B(x-x_0)`，一定能取到，所以……

nttz

kuing 发表于 2024-6-23 21:51
那个看不懂就换个吧，用柯西推吧，还能顺便练习一下不等式技巧。

设 `P(x,y)` 为直线 `Ax+By+C=0` 上的任 ...

太牛了

isee

点到直线的距离公式推导方式很多，初中用面积硬算出来.
现行教材是用向量投影也很快.
点 $P(m,n)$ 到直线 $l: Ax+By+C=0$ 的距离就是 $\vv{HP}=(m-x,n-y)$ 在直线的法向量 $\vv n=(A,B)$ 上的投影，其中点 $H(x,y)$ 是直线 $l$ 上任意一点，则点到直线的距离
\begin{align*}
d&=\frac{\big|\vv{PH}\cdot \vv n\big|}{|\vv n|}\\[1em]
&=\frac{\left|A(m-x)+B(n-y)\right|}{\sqrt{B^2+A^2}}\\[1em]
&=\frac{\left|Am+Bn+C\right|}{\sqrt{A^2+B^2}}.
\end{align*}

Tesla35

isee 发表于 2024-6-25 21:14
点到直线的距离公式推导方式很多，初中用面积硬算出来.
现行教材是用向量投影也很快.
点 $P(m,n)$ 到直线 $ ...

直线$Ax+By+C=0$的法向量是$\vv{n}=(A,B)$,$\vv{v}=(B,-A)$是方向向量

isee

Tesla35 发表于 2024-6-28 22:41
直线$Ax+By+C=0$的法向量是$\vv{n}=(A,B)$,$\vv{v}=(B,-A)$是方向向量

是了是了😀