一道数列问题

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正向递增数列 {$a_n$} 首项 $a_1=1$，且满足：
\begin{align*}
1-\frac{1}{a_na_{n+1}}=\frac{1}{a_{n+1}-a_n}，n∈N^*
\end{align*}
解出其通项公式，并证明 $a_{99}＜100$

战巡

\[1-\frac{1}{a_na_{n+1}}=\frac{1}{a_{n+1}-a_n}\]
\[a_{n+1}-a_n-\frac{1}{a_n}+\frac{1}{a_{n+1}}=1\]
\[a_n+\frac{1}{a_n}=n+1\]
\[a_{99}<a_{99}+\frac{1}{a_{99}}=100\]
\[a_n=\frac{1}{2}(n+1+\sqrt{n^2+2n-3})\]