两位模10加法的疑问

hbghlyj

$\cal O$是个位数$\{0,1\dots,9\}$，$\cal T$是十位数$\{0,1\dots,9\}$，
那么$E=\{0,1,\dots,99\}$的数可写成$[a][b ],a\in\mathcal O,b\in\mathcal T$，例如$53=[5][3]$.
进位函数$z: \mathcal{O} \times \mathcal{O} \rightarrow \mathcal{T}$定义为：
\begin{array}{l|llllllllll}
z & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\
\hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\
4 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
5 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
6 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
7 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
8 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
9 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1
\end{array}所以\begin{equation}\label1
{\left[a_1\right]\left[b_1\right]+\left[a_2\right]\left[b_2\right] }  =\left[a_1+a_2+z\left(b_1, b_2\right)\right]\left[b_1+b_2\right] .
\end{equation}例如
\begin{aligned}
& {[1][2]+[2][5]=[3][7]} \\
& {[3][7]+[2][9]=[6][6]} \\
& {[9][5]+[0][6]=[0][1]}
\end{aligned}第4页又定义了一种 $E$ 上的加法：\begin{equation}\left[a_1\right]\left[b_1\right]+\left[a_2\right]\left[b_2\right]=\left[a_1+a_2+2 z\left(b_1, b_2\right)\right]\left[b_1+b_2\right] .\label2\end{equation}
例如\begin{aligned}
& {[1][2]+[2][5]=[3][7]} \\
& {[3][7]+[2][9]=[7][6]} \\
& {[9][5]+[0][6]=[1][1]}
\end{aligned}它声称 $E$ 没有 4 阶元素。这怎么看出来呢？

hbghlyj

用\eqref{2}的加法，从[0][0]起一直加[0][1]得到：
$[0][0],[0][1],[0][2],[0][3],[0][4],[0][5],[0][6],[0][7],[0][8],[0][9],$
$[2][0],[2][1],[2][2],[2][3],[2][4],[2][5],[2][6],[2][7],[2][8],[2][9],$
$[4][0],[4][1],[4][2],[4][3],[4][4],[4][5],[4][6],[4][7],[4][8],[4][9],$
$[6][0],[6][1],[6][2],[6][3],[6][4],[6][5],[6][6],[6][7],[6][8],[6][9],$
$[8][0],[8][1],[8][2],[8][3],[8][4],[8][5],[8][6],[8][7],[8][8],[8][9],$
然后[8][9]+[0][1]=[0][0]又回到开始。
因此，从[0][0]起一直加[0][1]只能得到 $50$ 个元素，例如[1][0]不在此列。
从[1][0]起一直加[0][1]可以得到 $E$ 中另一半的元素：
$[1][0],[1][1],[1][2],[1][3],[1][4],[1][5],[1][6],[1][7],[1][8],[1][9],$
$[3][0],[3][1],[3][2],[3][3],[3][4],[3][5],[3][6],[3][7],[3][8],[3][9],$
$[5][0],[5][1],[5][2],[5][3],[5][4],[5][5],[5][6],[5][7],[5][8],[5][9],$
$[7][0],[7][1],[7][2],[7][3],[7][4],[7][5],[7][6],[7][7],[7][8],[7][9],$
$[9][0],[9][1],[9][2],[9][3],[9][4],[9][5],[9][6],[9][7],[9][8],[9][9],$
然后[9][9]+[0][1]=[1][0]又回到开始。

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2024-7-1 11:36
它声称 $E$ 没有 4 阶元素。这怎么看出来呢？

可以用SageMath计算：

1. AdditiveAbelianGroup([50,2]).exponent()

复制代码

它的exponent为50，不被4整除，所以不能有 4 阶元素.
这样和\eqref{2}关系不大，想问能否从\eqref{2}直接看出

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2024-7-1 11:56
想问能否从(2)直接看出

想通了：
假设 x 的阶为4，
那么 x+x 的阶为2，于是 x+x = [4][5] 或 [5][0]
先排除x+x = [4][5]：根据\eqref{2}，x+x 的个位数必須为偶数，而[4][5]的个位数 5 不是偶数。
再排除x+x = [5][0]：根据\eqref{2}，x+x 的十位数必須为偶数，而[5][0]的十位数 5 不是偶数。

hbghlyj

第8页：

Lemma 6.4. The group B(O;T) is a subgroup of Z(O;T).

需要验证 $z=\delta h$ 满足 cocycle condition:
$$
z\left(b_2, b_3\right)-z\left(b_1+b_2, b_3\right)+z\left(b_1, b_2+b_3\right)-z\left(b_1, b_2\right)=0
$$
代入 $\delta h(b_1,b_2)=h(b_1)-h(b_1+b_2)+h(b_2)$ 验证：
\begin{multline*}
h(b_2)-h(b_2+b_3)+h(b_3)\\-(h(b_1+b_2)-h(b_1+b_2+b_3)+h(b_3))\\+h(b_1)-h(b_1+b_2+b_3)+h(b_2+b_3)\\-(h(b_1)-h(b_1+b_2)+h(b_2))=0
\end{multline*}

hbghlyj

上同调群 $H(\mathcal T;\mathcal O)\cong\mathbb Z_{10}$，为什么呢

1. CyclicPermutationGroup(10).cohomology(2)

复制代码

\eqref{1}中的cocycle是$z$，\eqref{2}中的cocycle是$2z$
$z$ 给出的扩展 $\mathbb{Z}_{100}$ 是 $H(\mathcal I;\mathcal O)$ 的生成元。
这样，cocycle $0,z,2z,3z,4z,\dots,9z$ 给出不同的扩展。
cocycle $0$（从$\mathcal{O}\times\mathcal{O}$到$\cal T$的恒等于0的函数）给出的扩展是直积$\mathbb{Z}_{10}\oplus\mathbb{Z}_{10}$
cocycle $2 z、4 z、6 z$ 和 $8 z$ 给出的扩展是不同的，但都同构于 $\Bbb Z_{50}\oplus\Bbb Z_2$.
cocycle $z、3z、7z$ 和 $9z$ 给出的扩展是不同的，但都同构于 $\Bbb Z_{100}$.
剩下的$5z$给出的扩展同构于 $\Bbb Z_{20}\oplus\Bbb Z_5$.

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2024-7-1 14:41
上同调群 $H(\mathcal T;\mathcal O)\cong\mathbb Z_{10}$，为什么呢

这个一般的应该怎样计算呢？如果$\mathcal T,\mathcal O$都改成模$n$，结果是$\mathbb Z_n$吗？

再试一个別的：

1. AlternatingGroup(4).cohomology(2)

复制代码

是$\mathbb Z_3$，为什么呢