求解一道数列证明题

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若等比数列$ \{a_n\} $中有两项分别是$ 1 $和$ \sqrt{5} $.求证：数列$ \{a_n\} $中任意三项都不能构成等差数列.

kuing

哈，我昨天恰好也在知乎看到这题：zhihu.com/question/606676946
链接里的两个回答一个未完成，另一个后半有问题（我已经评论中指出）

这题表面是数列，最终是数论，我暂时也不会，以下是开头。

设 `a_s=1`, `a_t=\sqrt5`，则 `a_n=5^{(n-s)/(2(t-s))}`。

假设存在三项为等差，即存在 `a`, `b`, `c\inN^+`, `a>b>c` 使得
\[5^{(a-s)/(2(t-s))}+5^{(c-s)/(2(t-s))}=2\times5^{(b-s)/(2(t-s))},\]
再令 `a-b=x`, `b-c=y`, `2(t-s)=k`，则 `x`, `y\inN^+`, `k\inZ`, `k\ne0`，上式化为
\[5^{x/k}+5^{-y/k}=2,\]
只需证明这个方程无解。

进一步猜想 `n^p+n^q=2`（`n\inN^+`, `n\geqslant2`, `p`, `q\inQ`）只有 `p=q=0` 一个解。

未完待续……

Czhang271828

给一个不用计算的方法.

事实: 给定 $\mathbb C$ 中非零等比数列, 假定 $1,q^a,q^b$ 是等差项, 则 $q^b-2q^a+1=0$. 这表明 $q$ 与 $1/q$ 都是代数整数.

• $\mathbb Z$ 中代数整数的定义: 称 $x\in \mathbb C$ 是代数整数, 当且仅当存在非平凡首一整系数多项式 $f$ 使得 $f(x)=0$.
  

下证明 $(\sqrt{5})^n$ 与 $(\sqrt{5})^{-n}$ $(n\geq 1)$ 永远不是代数整数. 由于代数整数的积是代数整数, 且 $1/5$ 不是代数整数, 证毕.

• "代数整数的积也是代数整数"之证明: 若 $x$ 与 $y$ 是代数整数, 则找到首一整系数多项式使得 $F(x)=G(y)=0$. 存在整系数矩阵 $\det (\lambda I-A)=F(\lambda)$ 以及 $\det (\lambda I-B)=G(\lambda)$, 此时 $\det (\lambda I-A\otimes B)$ (俗称 $F$ 与 $G$ 的结式) 是零化 $x\cdot y$ 的首一整系数多项式 ($x\in \mathrm{eigen}(A)$ 与 $y\in \mathrm{eigen}(B)$ 推得 $x\cdot y\in \mathrm{eigen}(A\otimes B)$).
  

lxz2336831534

高中A版课本后面习题上的，我记得用的是反证法

Czhang271828

kuing 发表于 2024-7-2 09:51
进一步猜想 `n^p+n^q=2`（`n\inN^+`, `n\geqslant2`, `p`, `q\inQ`）只有 `p=q=0` 一个解。

讨论以下方程解的数量:  
$$
n^p+n^q-2=0,\quad (n\geq 2)\land  (p,q,\in \mathbb Q).
$$
也就是
$$
x^p+x^q-2=0,\quad (x\text{ 形如 }\sqrt[\geq 1]{\geq 2})\land  (p,q,\in \mathbb Z).
$$
去除平凡情况 $(p\neq q) \lor (pq=0)$, 下讨论:
(1) 若 $pq<0$, 则不妨设 $p,-q>0$, 此时 $x^{p-q}-2x^{-q}+1=0$. 这表明 $x$ 与 $1/x$ 都是代数整数. 矛盾.
(2) 若 $p$ 与 $q$ 同号, 则 $(x^p-1)$ 与 $(x^q-1)$ 同号, 则方程无解.