由杰波夫猜想想到的两个问题

零定义

杰波夫猜想：区间$(n^2,(n+1)^2)$内一定存在素数.

问题一：设数列$\{p_n\}$为所有素数按从小到大的顺序排列组成的数列，则区间$(p^2_n,p^2_{n+1})$内一定存在孪生素数对.

问题二：设数列$\{p_n\}$为所有奇素数按从小到大的顺序排列组成的数列，则区间$(p^2_n,p_n\cdot p_{n+1})$与$(p_n\cdot p_{n+1},p^2_{n+1})$内都存在孪生素数对.

问题一与问题二是否成立？

睡神

重新改动MMA代码，需要手动改变$n$的值，输出区间内所有的孪生素数对，并统计数量.
问题一MMA代码：

1. (*定义孪生素数检查函数*)
2. IsTwinPrimePair[{a_, b_}] := PrimeQ[a] && PrimeQ[b] && b - a == 2
4. (*定义找到第n个素数的函数*)
5. FindPrime[n_] := Nest[NextPrime, 2, n - 1]
7. (*主程序，找到指定区间内的孪生素数对并统计数量*)
8. FindTwinPrimesInInterval[n_] :=
9. Module[{p1, p2, twins, count}, p1 = FindPrime[n];
10.   p2 = NextPrime[p1];
11.   twins =
12.    Select[Table[{i, i + 2}, {i, p1^2 + 1, p2^2 - 1}], IsTwinPrimePair];
13.   count = Length[twins];
14.   {twins, count}]
16. (*使用例子*)
17. {twins, count} = FindTwinPrimesInInterval[100];
18. Print["孪生素数对: ", twins];
19. Print["孪生素数对数量: ", count];

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已验证$1\le n \le 401$，问题一均成立

睡神

问题二第一个区间的MMA代码：

1. (*定义孪生素数检查函数*)
2. IsTwinPrimePair[{a_, b_}] := PrimeQ[a] && PrimeQ[b] && b - a == 2
4. (*定义找到第n个素数的函数*)
5. FindPrime[n_] := Nest[NextPrime, 2, n - 1]
7. (*主程序，找到指定区间内的孪生素数对并统计数量*)
8. FindTwinPrimesInInterval[n_] :=
9. Module[{p1, p2, twins, count}, p1 = FindPrime[n];
10.   p2 = NextPrime[p1];
11.   twins =
12.    Select[Table[{i, i + 2}, {i, p1^2 + 1, p1*p2 - 1}],
13.     IsTwinPrimePair];
14.   count = Length[twins];
15.   {twins, count}]
17. (*使用例子*)
18. {twins, count} = FindTwinPrimesInInterval[10];
19. Print["孪生素数对: ", twins];
20. Print["孪生素数对数量: ", count];

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$n$需要从2开始，已验证$2\le n\le 401$均成立

睡神

问题二的第二个区间的MMA代码：

1. (*定义孪生素数检查函数*)
2. IsTwinPrimePair[{a_, b_}] := PrimeQ[a] && PrimeQ[b] && b - a == 2
4. (*定义找到第n个素数的函数*)
5. FindPrime[n_] := Nest[NextPrime, 2, n - 1]
7. (*主程序，找到指定区间内的孪生素数对并统计数量*)
8. FindTwinPrimesInInterval[n_] :=
9. Module[{p1, p2, twins, count}, p1 = FindPrime[n];
10.   p2 = NextPrime[p1];
11.   twins =
12.    Select[Table[{i, i + 2}, {i, p1*p2 + 1, p2^2 - 1}],
13.     IsTwinPrimePair];
14.   count = Length[twins];
15.   {twins, count}]
17. (*使用例子*)
18. {twins, count} = FindTwinPrimesInInterval[10];
19. Print["孪生素数对: ", twins];
20. Print["孪生素数对数量: ", count];

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$n$需要从2开始，$2\le n \le 401$内，只找到一反例$n=10$

uk702

$({p_n}^2, {p_{n+1}}^2)$ 大约有 $2n \  {ln(n)}^2$ 个自然数，而孪生素数的平均密度是每 ${ln(n)}^2$ 中有一个，因此，“正常”情况下，$({p_n}^2, {p_{n+1}}^2)$ 在统计意义上大约有 2n 个孪生素数。

不“正常”情况下，就不好说了。孪生素数甚至素数本身就很不正常，所以无人知道孪生素数是否有无限个，虽然只要素数的那一套理论成立，就孪生素数“应该”是无限个且密度是每 ${ln(n)}^2$ 中大约有一个。

如果这个命题能用“筛法”来证明，“筛法”的意思是，不管在怎么极端的情况下，$({p_n}^2, {p_{n+1}}^2)$  都能筛出一个孪生素数来。

零定义

uk702 发表于 2024-7-10 22:34
$({p_n}^2, {p_{n+1}}^2)$ 大约有 $2n \  {ln(n)}^2$ 个自然数，而孪生素数的平均密度是每 ${ln(n)}^2$ 中 ...

经$MMA$暴力列举
当$n=100000$时，有51836对孪生素数
当$n=1000000$时，有149220对孪生素数
这样看起来，孪生素数的数量并非只与$n$的大小有关
经观察，$p_{n+1}-p_n$的差对孪生素数的数量的影响，要远远大于$n$的大小对其的影响
感觉这个是显然的，区间长度小，数量必定受到非常大的限制

uk702

零定义 发表于 2024-7-10 23:54
经$MMA$暴力列举
当$n=100000$时，有51836对孪生素数
当$n=1000000$时，有149220对孪生素数

${p_{n+1}}^2 - {p_n}^2$ 大约是 $c \ n \ {ln(n)}^2$，其中 c 为某常数，所以 ”经观察...” 的前半句和后半句在统计意义上大致等效。

${p_{n+1}} - {p_n}$ 最小值为 2，好吧，这句话我收回。