比较$\sum_{i=0}^{n}\abs{\alpha_i}$与$\frac{2^n}{n!}$的大小

abababa

设$f(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$，$x_0,x_1,\cdots,x_n$是$n+1$个两两不同的实数，令$\alpha_j=\prod_{0\le j\le n,j\neq i}(x_i-x_j)^{-1}$，比较$\sum_{i=0}^{n}\abs{\alpha_i}$与$\frac{2^n}{n!}$的大小。

觉得那个$\alpha_i$是拉格朗日插值的系数，不知道有没有什么关联，具体要怎么做呢？

kuing

怎么后半都和 f(x) 无关？

abababa

kuing 发表于 2024-7-8 18:13
怎么后半都和 f(x) 无关？

可能前面写了一个多项式，就是暗示和多项式有关？我也不太清楚。但我的确是看到多项式，才想到拉格朗日插值的，虽然我没做出来。

写成拉格朗日插值公式有
\[f(x)=\sum_{i=0}^{n}\left(\alpha_if(x_i) \cdot \prod_{0 \le j \le n, j \neq i}(x-x_j)\right)\]

$x^n$的系数是
\[1=\sum_{i=0}^{n}\alpha_if(x_i)\le\sum_{i=0}^{n}\abs{\alpha_i}\max(\abs{f(x_i)})\]

然后
\[\sum_{i=0}^{n}\abs{\alpha_i}\ge\frac{1}{\max(\abs{f(x_i)})}\]

还能继续有$\max(\abs{f(x_i)})<\frac{n!}{2^n}$吗？

Czhang271828

$x_i$ 可以成比例地缩放, 所以式子显然没上下界. 这题多半和数值分析中 Newton 差分之类的误差有关.

abababa

abababa 发表于 2024-7-8 18:59
可能前面写了一个多项式，就是暗示和多项式有关？我也不太清楚。但我的确是看到多项式，才想到拉格朗日插 ...

感觉是题目少了什么条件，我试了几个数，因为我用的是连续整数，这时就能得出那个$\frac{2^n}{n!}$的值。不然假设就取$n=1,x_0=0,x_1=3$，有$\frac{2}{3}<\frac{2^1}{1!}$，再取$n=1,x_0=0,x_1=1$，有$2\ge\frac{2^1}{1!}$，大小不确定。