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当$n=6$时：
若$6$点中存在$3$点共线，不妨设$B$在线段$AC$上且$AB\le CB$，于是$\lambda_6\ge\frac{AC}{AB}\ge2>\sqrt{3}$。
若$6$点中任意$3$点不共线，设这$6$点的凸包为$F$，$F$的顶点都在这$6$点之中。
1.若$F$是凸六边形，则由于凸六边形内角和为$720^{\circ}$，所以必有一个内角不小于$120^{\circ}$。
2.若$F$不是凸六边形，则$6$个点中存在一点$O\in F$，任取$F$的一个顶点$A$，连结$F$的所有过顶点$A$的对角线，将$F$分为几个小三角形，则点$O$必在某个小三角形中，不妨设$O\in\triangle ABC$，而$A,B,C$都是$F$的顶点，因此都在这$6$点之中。显然$\angle AOB,\angle BOC,\angle COA$中必有一个不小于$120^{\circ}$。
于是这$6$点中总存在$3$点$A,B,C$使得$\triangle ABC$有一个内角不小于$120^{\circ}$，不妨设$\angle ABC\ge120^{\circ}$，设最大、最小距离分别为$D,d$于是
\[D^2\ge AC^2=AB^2+BC^2-2AB\cdot BC\cdot\cos\angle ABC\ge d^2+d^2+2d\cdot d\cdot\frac{1}{2}=3d^2\]
所以$\lambda_6=\frac{D}{d}\ge\sqrt{3}$。
即总有$\lambda_6\ge\sqrt{3}$。
关键是这个$=\sqrt{3}$的情况，能构造出来吗？ |
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