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设最大面积为$D$，最小面积为$d$。
当$n=3$时显然$\lambda_3=1$。
当$n=4$时，可能的情况是凸包为三角形或四边形。
1.当凸包为四边形$ABCD$时，这四点都是顶点，作对角线，显然有$D\ge\frac{1}{2}S_{ABCD},d\le\frac{1}{2}S_{ABCD}$，所以$\lambda_4=\frac{D}{d}\ge1$，而当四边形为正方形时显然取$=1$。
2.当凸包为$\triangle ABC$时，点$D$在$\triangle ABC$内部，连接$DA,DB,DC$将$\triangle ABC$分为三个小三角形，显然$D=S_{\triangle ABC},d\le\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}$，所以$\lambda_4=\frac{D}{d}\ge3$，当$\triangle ABC$是等边三角形，中心为$D$时取$=3$。
综上可知当$n=4$时$\lambda_4=1$。
当$n=5$时，可能的情况是凸包为三角形、四边形、五边形。
1.当凸包为$\triangle ABC$时，点$D,E\in\triangle ABC$，还是考虑点$D$，有$S_{\triangle ADB}+S_{\triangle BDC}+S_{\triangle CDA}=S_{\triangle ABC}=D$，因此$d\le\min(S_{\triangle ADB}, S_{\triangle BDC}, S_{\triangle CDA})\le\frac{D}{3}$，因此$\lambda_5=\frac{D}{d}\ge3$。
2.当凸包为四边形$ABCD$时，则或者$E\in\triangle ABC$，或者$E\in\triangle CDA$，当$E\in\triangle ABC$时，由前面的证明可知$d\le\frac{S_{\triangle ABC}}{3}$，同理当$E\in\triangle CDA$时有$d\le\frac{S_{\triangle CDA}}{3}$，相加即有$2d\le\frac{S_{ABCD}}{3}$，而显然$D\ge\frac{1}{2}S_{ABCD}$，因此$\lambda_5=\frac{D}{d}\ge3$。
3.当凸包为五边形$ABCDE$时，若它是正五边形，则显然$\lambda_5=\frac{D}{d}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
能证明$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$是最小值吗？ |
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