一道与复数和轮换对称有关的不等式题

郝酒

给定的整数$n\geq2$，求最大的实数数$\lambda$，使得对任意模不大于1的复数$z_i$，都有$1+|\sigma_1|+…+|\sigma_n|\geq\lambda(|z_1|+\cdots+|z_n|)$
其中$\sigma_k=\sum_{1\leq i_1<\cdots<i_k\leq n}z_{i_1}\cdots z_{i_k}$

我猜$\lambda$为0，但是没证明出来。
另外$\lambda$能否表示成$n$的式子?

郝酒

我把题意理解错了，给定$n$，这个$\lambda$应该是跟$n$有关的常数。我进行了下面的尝试：
一、找递推的关系：
$\begin{array}
{}&1+|\sum\limits_{1\leq i \leq n} z_i|+|\sum\limits_{1\leq i<j\leq n}z_i z_j|+\cdots+|\sum\limits_{1\leq i_1<i_2<\cdots<i_{n-1}\leq n}z_{i_1} z_{i_2} \cdots z_{i_{n-1}}|+|z_1 z_2 \cdots z_n|\\
=& 1+|\sum\limits_{1\leq i \leq n-1} z_i+z_n|+|\sum\limits_{1\leq i<j\leq n-1}z_i z_j+z_n(\sum\limits_{1\leq i \leq n-1} z_i)|+\cdots+|z_n(z_1z_2\cdots z_{n-1})|\\
\end{array}$
然后想把$z_n$单独提出来，可是因为有模，不等号的方向是反的.
二、特值试一下：好像取$z_k=e^{\frac{2k\pi}{n}}$能使中间的模都是零，于是$1+1\geq \lambda n$，$\lambda\leq \frac{2}{n}$，猜测最大就是$\frac{2}{n}$.
$n=2$时，$\frac{1+|z_1+z_2|+|z_1z_2|}{|z_1|+|z_2|}\geq\frac{1+|z_1z_2|}{|z_1|+|z_2|}=\frac{1-|z_1|-|z_2|+|z_1z_2|}{|z_1|+|z_2|}+1\geq1$.
$n=3$时想证：$1+|z_1||z_2||z_3|\geq\frac{2}{3}(|z_1|+|z_2|+|z_3|)$，需证：
$|z_1||z_2||z_3|-|z_1||z_2|\geq\frac{1}{3}(|z_3|-|z_2|+|z_3|-|z_1|)$，
可以不妨假设$z_1,\cdots,z_n$是有顺序的：$1\geq|z_1|\geq|z_2|\geq\cdots\geq|z_n|$
变成要证$|z_1||z_2|(1-|z_3|)\leq\frac{1}{3}(|z_2|-|z_3|+|z_1|-|z_3|)$.
把$|z_1|$和$|z_2|$放成1，就变成$|z_1|+|z_2|+|z_3|\geq 3$，不等号方向反了.
$n-1$到$n$的递推，更写不出来了.
麻烦大侠看一下，感谢！