函数不等式

nttz

学习高中分析课程时候遇到的习题，哪个高人解决下

kuing

1. `x^\alpha-1\leqslant\alpha(x-1)`（`0<\alpha<1`）求导易证，然后在此式令 `x=a/b` 去分母整理即得待证不等式。

2. 利用第 1 题的不等式用归纳法即可。

3. 利用第 1 题的不等式有
\begin{gather*}
a^{b/(a+b)}b^{a/(a+b)}\leqslant\frac b{a+b}a+\frac a{a+b}b=\frac{2ab}{a+b},\\
\left(\frac1a\right)^{a/(a+b)}\left(\frac1b\right)^{b/(a+b)}\leqslant\frac a{a+b}\cdot\frac1a+\frac b{a+b}\cdot\frac1b=\frac2{a+b},
\end{gather*}
所以
\[a^{b/(a+b)}b^{a/(a+b)}\leqslant\frac{2ab}{a+b}\leqslant\sqrt{ab}\leqslant\frac{a+b}2\leqslant a^{a/(a+b)}b^{b/(a+b)},\]
两边 `a+b` 次方即得待证不等式。

4. 利用第 2 题的不等式，仿照上一题的方式，有
\[\left(\frac1a\right)^{a/(a+b+c)}\left(\frac1b\right)^{b/(a+b+c)}\left(\frac1c\right)^{c/(a+b+c)}\leqslant\sum\frac a{a+b+c}\cdot\frac1a=\frac3{a+b+c}\leqslant\frac1{\sqrt[3]{abc}},\]
倒过来并两边 `a+b+c` 次方即得待证不等式。

nttz

kuing 发表于 2024-8-5 16:15
1. `x^\alpha-1\leqslant\alpha(x-1)`（`0<\alpha<1`）求导易证，然后在此式令 `x=a/b` 去分母整理即得待证 ...

第二题归纳 n时候成立，n+1时候条件都不同了啊，怎么使用n时候的条件呢

kuing

nttz 发表于 2024-8-6 20:54
第二题归纳 n时候成立，n+1时候条件都不同了啊，怎么使用n时候的条件呢

……😔

n+1 时记 `q_1+q_2=A`，则 `A+q_3+\cdots+q_{n+1}=1`，由归纳假设有
\begin{align*}
a_1^{q_1}a_2^{q_2}a_3^{q_3}\cdots a_{n+1}^{q_{n+1}}&=\left( a_1^{q_1/A}a_2^{q_2/A} \right)^Aa_3^{q_3}\cdots a_{n+1}^{q_{n+1}}\\
&\leqslant A\left(a_1^{q_1/A}a_2^{q_2/A}\right)+q_3a_3+\cdots+q_{n+1}a_{n+1}\\
&\leqslant A\left(\frac{q_1}Aa_1+\frac{q_2}Aa_2\right)+q_3a_3+\cdots+q_{n+1}a_{n+1}\\
&=q_1a_1+q_2a_2+q_3a_3+\cdots+q_{n+1}a_{n+1},
\end{align*}
所以 n+1 也成立。