几个定理与推论的证明（方程）

lemondian

下面几个定理与推论如何证明：
定义：令$x=2\cos\theta ,f_0(x)=1,f_1(x)=x,f_m(x)=xf_{m-1}(x)-f_{m-2}(x),m\geqslant 2,m\inN^*$.
则：
定理1：(1)$\sin\theta \cdot f_m(x)=\sin(m+1)\theta ;(2) f_m(x)-f_{m-2}(x)=2\cos(m\theta) $.

定理2：对于一切自然数$m$，$f_m(x)=0$有$m$个实根:$x_k=2\cos\dfrac{k\pi}{m+1},k=1,2,\cdots ,m$.

定理3：当$m\geqslant 2$时，$f_m(x)$的一般表达式为:
$f_m(x)=x^m-C_{m-1}^1x^{m-2}+C_{m-2}^2x^{m-4}-\cdots +(-1)^kC_{m-k}^kx^{m-2k}+\cdots +(-1)^{[\dfrac{m}{2}]}C_{m-[\dfrac{m}{2}]}^{[\dfrac{m}{2}]}x^{m-2[\dfrac{m}{2}]}$.

推论1：方程$f_m(x)+f_{m-1}(x)=0$有$m$个不同的实根:$x=(-1)^k2\cos\dfrac{k\pi}{2m+1},k=1,2,\cdots ,m$.

推论2：在多项式$f_{2m}(x)$中用$4-y^2$代换$x^2$，则得$y$的多项式$g_{2m}(y)$，$g_{2m}(y)=0$有$2m$个不同的实根：$y=\pm2\sin\dfrac{k\pi}{2m+1},k=1,2,\cdots ,m$.

战巡

一眼看出，这个其实就是第二类切比雪夫多项式的变种，定义
\[S_n(x)=U_n(\frac{x}{2})\]
其中$U_n(x)$为第二类切比雪夫多项式，那么就是会有
\[S_1(x)=x\]
\[S_n(x)=xS_{n-1}(x)-S_{n-2}(x)\]

剩下就是顺理成章的事了

比如
\[S_n(x)=S_n(2\cos(\theta))=U_n(\cos(\theta))=\frac{\sin((n+1)\theta)}{\sin(\theta)}\]
又比如
\[S_n(x)-S_{n-2}(x)=U_n(\frac{x}{2})-U_{n-2}(\frac{x}{2})=2T_n(\frac{x}{2})=2T_n(\cos(\theta))=2\cos(n\theta)\]

剩下自己去查相关性质吧，懒得一个个证明了

lemondian

战巡 发表于 2024-8-7 14:01
一眼看出，这个其实就是第二类切比雪夫多项式的变种，定义
\[S_n(x)=U_n(\frac{x}{2})\]
其中$U_n(x)$为第 ...

谢谢！
请问一下，哪里有第二类切比雪夫多项式的相关性质学习？
我在网上找，几乎都是第一类切比雪夫多项式的

lemondian

lemondian 发表于 2024-8-7 18:19
谢谢！
请问一下，哪里有第二类切比雪夫多项式的相关性质学习？
我在网上找，几乎都是第一类切比雪夫多项 ...

？？？

lemondian

哪位能帮帮忙写一下1#几个定理与推论的证明哩🙏🙏🙏