一道条件概率的问题

nttz

简单说明下问题，假设理想平衡人群中，白化病的频率是p，正常基因频率是q，p+q= 1，现在一个白化的携带者Aa与人群中随机婚配
那么后代的白化的概率比较容易就是 $ p(aa) = /frac{1}{2}*p$, 现在已经知道后代有白化的条件下，那么婚配的另一方是白化的可能性
是多少呢？
解法一：显然人群中$p(AA) = q^2,p(Aa) = 2pq,p(aa) = p^2$,由于后代有aa，那么婚配的另一方只能是Aa或者aa，那么是aa的可能性是 $p(aa) =\dfrac{p(aa)}{p(Aa)+p(aa)} = \dfrac{p^2}{2pq+p^2}$.
解法二：根据贝叶斯公式
   婚配另一方产生的a的全概率是 $p(a) =p(a|AA)\times p(AA) + p(a|Aa)\times p(Aa)+p(a|aa)\times p(aa) $
$ = 0\times q^2+\dfrac{1}{2}\times 2pq + 1\times p^2 = p(p+q) =p$
那么在产生a的情况下另一方是aa条件概率是$p(aa|a) = \dfrac{p(a|aa)*p(aa)}{p(a)} =\dfrac{1\times p^2}{p} = p$
为啥两种情况不一样的呢？哪个是正确的概率呢？

Czhang271828

第一段表述有问题, 应该是: 白化病基因 ($a$) 的频率是 $p$, 白化病 ($aa$) 的频率是 $p^2$.

解法一的问题: $Aa+Aa\to aa$ 的概率与 $Aa+aa\to aa$ 的概率不同 (分别是 $\frac 14$ 与 $\frac 12$). 此处的平均应作加权平均
$$
\frac{\frac 12p(aa)}{\frac 14p(Aa)+\frac 12p(aa)}=\frac{\frac 12p^2}{\frac 142pq+\frac 12p^2}=p.
$$

nttz

Czhang271828 发表于 2024-8-14 15:41
第一段表述有问题, 应该是: 白化病基因 ($a$) 的频率是 $p$, 白化病 ($aa$) 的频率是 $p^2$.

解法一的问 ...

改过来了，已经知道后代白化，另一方肯定提供一个a的啊，提供的个体就aa和Aa两种啊，而且它们只能提供一个a，
虽能说明白为啥要折算下啊，即便是aa，每个个体最多只能提供一个a啊，不会aa都给下一代
原题可否这样理解，群体中能提供a的个体中，白化的概率？

Czhang271828

nttz 发表于 2024-8-14 16:29
改过来了，已经知道后代白化，另一方肯定提供一个a的啊，提供的个体就aa和Aa两种啊，而且它们只能提供一 ...

第一段没改. 请仔细阅读正确表述: 白化病的频率是 $p^2$, 白化病基因的频率是 $p$.

原题不能如此理解. 因为 $Aa$-型个体与 $aa$-型个体提供 $a$ 的能力不同. 上述加权平均与 Bayes 公式是一回事, 如果熟悉 Bayes 公式的推导过程, 应该可以看出来.

Bayes 公式的原理如下: 先列出概率表
$$
\begin{bmatrix}
\text{配偶 }AA\text{, 后代 }AA&\text{配偶 }AA\text{, 后代 }Aa&\text{配偶 }AA\text{, 后代 }aa\\[6pt]
\text{配偶 }Aa\text{, 后代 }AA&\text{配偶 }Aa\text{, 后代 }Aa&\text{配偶 }Aa\text{, 后代 }aa\\[6pt]
\text{配偶 }aa\text{, 后代 }AA&\text{配偶 }aa\text{, 后代 }Aa&\text{配偶 }aa\text{, 后代 }aa
\end{bmatrix}.
$$
计算得
$$
\begin{bmatrix}\frac {q^2}2&\frac {q^2}2&0\\\frac{2pq}4&\frac{2pq}2&\frac{2pq}4\\0&\frac{p^2}2&\frac{p^2}2\end{bmatrix}.
$$
原问题的重新表述: 如果发生了 $\begin{bmatrix}\square&\square&\blacksquare\\\square&\square&\blacksquare\\\square&\square&\blacksquare\\\end{bmatrix}$, 求 $\begin{bmatrix}\square&\square&\square\\\square&\square&\square\\\square&\square&\blacksquare\end{bmatrix}$ 发生的概率.

答案自然是
$$
\frac{\begin{bmatrix}\square&\square&\square\\\square&\square&\square\\\square&\square&\blacksquare\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\square&\square&\blacksquare\\\square&\square&\blacksquare\\\square&\square&\blacksquare\\\end{bmatrix}}=\frac{\frac{p^2}2}{0+\frac{2pq}4+\frac{p^2}2}=p.
$$

nttz

Czhang271828 发表于 2024-8-14 20:08
第一段没改. 请仔细阅读正确表述: 白化病的频率是 $p^2$, 白化病基因的频率是 $p$.

原题不能如此理解.  ...

看明白了，是亲本和子代aa同时成立为对象