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kuing
发表于 2024-8-19 18:53
没看出强在哪，就证第三条的 `n=3`：
令
\begin{gather*}
(a,b,c,d)=\left(\frac1{a_0},\frac1{a_1},\frac1{a_2},\frac1{a_3}\right),\\
T=x_0+x_1+x_2+x_3,
\end{gather*}
原不等式即
\begin{align*}
&(a+b+c+d)\left(\frac{x_0}{a(b+c+d)}+\frac{x_1}{b(a+c+d)}+\frac{x_2}{c(a+b+d)}+\frac{x_3}{d(a+b+c)}\right)\\
\leqslant{}&\frac19\biggl[\bigl(4(x_0+x_1)-T\bigr)\left(\frac1a+\frac1b\right)+\bigl(4(x_0+x_2)-T\bigr)\left(\frac1a+\frac1c\right)+\bigl(4(x_0+x_3)-T\bigr)\left(\frac1a+\frac1d\right)\\
&+\bigl(4(x_1+x_2)-T\bigr)\left(\frac1b+\frac1c\right)+\bigl(4(x_1+x_3)-T\bigr)\left(\frac1b+\frac1d\right)+\bigl(4(x_2+x_3)-T\bigr)\left(\frac1c+\frac1d\right)\biggr],
\end{align*}
即
\begin{align*}
&x_0\left(\frac1a+\frac1{b+c+d}\right)+x_1\left(\frac1b+\frac1{a+c+d}\right)+x_2\left(\frac1c+\frac1{a+b+d}\right)+x_3\left(\frac1d+\frac1{a+b+c}\right)\\
\leqslant{}&\frac19\biggl[\frac{4(3x_0+x_1+x_2+x_3)-3T}a+\frac{4(x_0+3x_1+x_2+x_3)-3T}b\\
&+\frac{4(x_0+x_1+3x_2+x_3)-3T}c+\frac{4(x_0+x_1+x_2+3x_3)-3T}d\biggr],
\end{align*}
把 `T` 代回去即
\begin{align*}
&x_0\left(\frac1a+\frac1{b+c+d}\right)+x_1\left(\frac1b+\frac1{a+c+d}\right)+x_2\left(\frac1c+\frac1{a+b+d}\right)+x_3\left(\frac1d+\frac1{a+b+c}\right)\\
\leqslant{}&\frac19\left(\frac{9x_0+x_1+x_2+x_3}a+\frac{x_0+9x_1+x_2+x_3}b+\frac{x_0+x_1+9x_2+x_3}c+\frac{x_0+x_1+x_2+9x_3}d\right),
\end{align*}
即
\begin{align*}
&\frac{x_0}{b+c+d}+\frac{x_1}{a+c+d}+\frac{x_2}{a+b+d}+\frac{x_3}{a+b+c}\\
\leqslant{}&\frac19\left(\frac{x_1+x_2+x_3}a+\frac{x_0+x_2+x_3}b+\frac{x_0+x_1+x_3}c+\frac{x_0+x_1+x_2}d\right),
\end{align*}
由 CS 有
\[\frac{x_0}{b+c+d}\leqslant\frac{x_0}9\left(\frac1b+\frac1c+\frac1d\right)\]
等四式加相即得证。
`n` 元时同理。 |
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