四边形的对边的等比分点

hbghlyj

[引理1]已知E,F分线段AC,BD的比相等,U,V,W分AB,CD,EF的比相等,则U,V,W三点共线.

[引理2]△DEF是△ABC的塞瓦三角形,AD,BE,CF共点于P.AD交EF于G,CF交DE于H,M,N分别是DG,FH的中点,过M作EF的平行线交CF于V,过N作DE的平行线交AD于U,则PU/PA=PV/PC,UV∥AC.
证明:首先由完全四边形知识易知A,P,D,G与C,P,F,H是调和点列,
结合M,N分别是DG,FH的中点可得PN/PH=PF/PC,PM/PG=PD/PA,
由NU∥DE得PU/PD=PN/PH=PF/PC,
进而PU/PA=(PU/PD)(PD/PA)=(PF/PC)(PD/PA)=(PD•PF)/(PA•PC),
同理PV/PC=(PD•PF)/(PA•PC),
于是PU/PA=PV/PC,UV∥AC,证毕.

[引理3]△DEF是△ABC的塞瓦三角形,AD,BE,CF共点于P.以PD,PE,PF中任意两条为邻边作平行四边形,第四顶点分别为P_A,P_B,P_C,P_AP_B,P_BP_C分别交BA,BC于A₁,C₁,过P点作P_AP_B与P_BP_C的平行线分别交BA,BC于A₂,C₂.则AA₁/AA₂=CC₁/CC₂.
证明:过A,C分别作P_AP_B与P_BP_C的平行线交于R,接下来证明P,P_B,R共线,
取DG,FH,FD中点M,N,Q,QN,QM分别交PA,PC于U,V,
易知QN∥DE∥P_AP_B,QM∥EF∥P_BP_C,再由[引理2]知PU/PA=PV/PC,故可得P,Q,R共线,
又P,Q,P_B共线,故P,Q,P_B,R共线,进而AA₁/AA₂=RP_B/RP=CC₁/CC₂,证毕.

[引理4]△DEF是△ABC的塞瓦三角形,AD,BE,CF共点于P.过P点作EF,FD,DE的平行线分别交BC,CA,AB于点X,Y,Z. 则X,Y,Z三点共线.
证明:设直线EF,FD,DE分别交BC,CA,AB于点U,V,W,
对△DEF与△ABC应用笛沙格透视定理即得U,V,W共线,
由PX∥EF,PY∥DF得CX/CU=CP/CF=CY/CV,进而XY∥UV,
同理YZ∥VW,于是就有了X,Y,Z三点共线,命题得证.

[引理5]△DEF是△ABC的塞瓦三角形,AD,BE,CF共点于P.以PD,PE,PF中任意两条为邻边作平行四边形,第四顶点分别为P_A,P_B,P_C,P_BP_C,P_CP_A,P_AP_B分别交BC,CA,AB于A₁,B₁,C₁,则A₁,B₁,C₁三点共线.
证明:由笛沙格透视定理可知"A₁,B₁,C₁三点共线"等价于"AP_A,BP_B,CP_C三线共点",由塞瓦定理知此又等价于:(S_△P_AAC/S_△P_AAB)•(S_△P_BBA/S_△P_BBC)•(S_△P_CCB/S_△P_CCA)=1  (※),
注意到S_△P_AAC/S_△P_AAB=(AC•EP_A•sin∠P_AEA)/(AB•FP_A•sin∠P_AFA)=(AC•PF•sin∠PCA)/(AB•PE•sin∠PBA),
同理,S_△P_BBA/S_△P_BBC=(BA•PD•sin∠PAB)/(BC•PF•sin∠PCB),S_△P_CCB/S_△P_CCA=(CB•PE•sin∠PBC)/(CA•PD•sin∠PAC),
∴(S_△P_AAC/S_△P_AAB)•(S_△P_BBA/S_△P_BBC)•(S_△P_CCB/S_△P_ACA)=(sin∠PCA/sin∠PBA)•(sin∠PAB/sin∠PCB)•(sin∠PBC/sin∠PAC),
对AD,BE,CF共点应用角元赛瓦定理即得(sin∠PCA/sin∠PCB)•(sin∠PBC/sin∠PBA)•(sin∠PAB/sin∠PAC)=1,
∴(※)式成立,原命题得证.

接下来,我们证明[命题◆]:
△DEF是△ABC关于P的塞瓦三角形.以PD,PE,PF中任意两条为邻边作平行四边形,第四顶点分别为P_A,P_B,P_C,P_BP_C,P_CP_A,P_AP_B分别交BC,CA,AB于A₁,B₁,C₁,过P点作EF,FD,DE的平行线分别交BC,CA,AB于点X,Y,Z,P₁,P₂,P₃分别位于PP_A,PP_B,PP_C上,且满足PP₁/PP_A=PP₂/PP_B=PP₃/PP_C.
则(1)A₁B₁/B₁C₁=XY/YZ.(2)AP₁,BP₂,CP₃共点.
证明:(1)由[引理4],[引理5]知A₁,B₁,C₁与X,Y,Z是两组共线点,
对△A₁BC₁与直线AC应用梅内劳斯定理得A₁B₁/B₁C₁=(AB/C₁A)(CA₁/BC),
对△XBZ与直线AC应用梅内劳斯定理得XY/YZ=(AB/ZA)(CX/BC),
由[引理3]知CX/CA₁=AZ/AC₁,
∴A₁B₁/B₁C₁=XY/YZ.
(2)设P₁P₂,P₂P₃,P₃P₁分别与AB,BC,CA交于W,U,V.
由PP₁/PP_A=PP₂/PP_B知P₁P₂∥P_AP_B∥PZ,所以ZW/ZC₁=PP₁/PP_A,
同理XU/XA₁=PP₂/PP_B,YV/YB₁=PP₃/PP_C,进而ZW/ZC₁=XU/XA₁=YV/YB₁,
结合A₁B₁/B₁C₁=XY/YZ,由[引理1]可知U,V,W三点共线,
再由笛沙格透视定理之逆可得AP₁,BP₂,CP₃共点,证毕.

现在来证明原题:

如图I是△ABC的内心,D,E,F分别是BC,CA,AB的中点,A₁,B₁,C₁分别是弧BC,CA,AB的中点,P,Q,R分别是ID,IE,IF上的点,且满足IP/ID=IQ/IE=IR/IF,求证:A₁P,B₁Q,C₁R共点.

证明:设IA,IB,IC分别交B₁C₁,C₁A₁,A₁B₁于U,V,W,
I是内心,则∠IC₁U+∠AIC₁=∠IBC+(∠IAC+∠ICA)=90°,
所以A₁U⊥B₁C₁,同理B₁V⊥C₁A₁,C₁W⊥A₁B₁,
故I是△A₁B₁C₁的垂心,
进而知I关于△A₁B₁C₁三边的对称点就是A,B,C．
于是U,V,W分别是IA,IB,IC的中点,
进而知四边形UIVF,VIWD,WIUE均为平行四边形,
又△UVW是I关于△A₁B₁C₁的塞瓦三角形,且IP/ID=IQ/IE=IR/IF
由[命题◆]知A₁P,B₁Q,C₁R共点,证毕.