求所有正整数组$(a,b,c)$,使得不定方程组有正有理数的解.

Tesla35

求所有正整数组$(a,b,c)$,使得不定方程组
$\left\{\begin{aligned}
        &x+\frac{1}{y}=a\\
        &y+\frac{1}{z}=b\\
        &z+\frac{1}{x}=c
\end{aligned}\right.$
有正有理数的解.

由
$$abc=(x+\frac{1}{y})(y+\frac{1}{z})(z+\frac{1}{x})=xyz+x+y+z+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{xyz}$$
和
$$a+b+c=x+y+z+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$$
可得
$$abc-(a+b+c)=xyz+\frac{1}{xyz}=m$$
设$t=xyz>0$,则$t+\frac{1}{t}=m$为正整数.

化简得$t^2-mt+1=0$,此关于$t$的方程有正有理数根,判别式$\Delta=m^2-4$必为完全平方数,设为$n^2(n\in\mathbf{N})$.
即$m^2-4=n^2\implies(m+n)(m-n)=4=2\times2$,所以$m=2,n=0$

此时$$abc-(a+b+c)=2$$
不妨设$a\leqslant b\leqslant c$,若$a>2$,则$abc-(a+b+c)>4c-3c=c>2$,原式不成立.

所以必有$a\leqslant2$.

当$a=1$时,$bc-(b+c)=3$即$(b-1)(c-1)=4=1\times4=2\times2$,解得$b=2,c=5$或$b=c=3$;

当$a=2$时,$2bc-b-c=4$可化为$(2b-1)(2c-1)=9=1\times9=3\times3$,解得$b=1,c=5$或$b=c=2$.

求其他解法，或者优化一下上述解法

Aluminiumor

$x+\frac1y=a$ 为正整数，故 $x$ 和 $\frac1y$ 的最简分数形式分母相同。
可设
$$x=\frac sr,y=\frac rt,z=\frac ts$$
其中 $r,s,t\in\mathbb{N}_{+}$
因此 $$a=\frac{s+t}{r},b=\frac{r+s}{t},c=\frac{t+r}{s}$$
所以
$$\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}=1$$
分解形式只有：
$$\begin{align*}
1
& =\frac12+\frac13+\frac16\\
& =\frac12+\frac14+\frac14\\
& =\frac13+\frac13+\frac13
\end{align*}$$
由此可得 $a,b,c$ 的所有解。