关于一类无理函数的最值求法

lemondian

以下内容是从网上看到的：




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这个方法，我总觉得有点不对劲，但哪有问题呢？有反例吗？

kuing

原理很容易破解，考虑 `f(x)=\sqrt{(x-a)^2+b}+\sqrt{(x-c)^2+d}`，有
\[f'(x)=\frac{x-a}{\sqrt{(x-a)^2+b}}+\frac{x-c}{\sqrt{(x-c)^2+d}},\]
为求极值点，令
\[\frac{x-a}{\sqrt{(x-a)^2+b}}=-\frac{x-c}{\sqrt{(x-c)^2+d}},\]
两边平方再两边减 1，就变成
\[\frac b{(x-a)^2+b}=\frac d{(x-c)^2+d},\]
也就是
\[(x-a)^2+b=\frac bd\bigl((x-c)^2+d\bigr),\]
这就是他那个构造的方程。
方程的两解中总有一解是极值点，而最大最小值只能在极值点或端点取得，所以比较所有这些点的函数值就能得出值域。

`f(x)=\sqrt{(x-a)^2+b}-\sqrt{(x-c)^2+d}` 的情况同理，方程是一样的。

kuing

相减的情况或许还需要判断无穷远的情况

lemondian

kuing 发表于 2024-8-28 00:03
相减的情况或许还需要判断无穷远的情况

例如求这个的最大值：
$y=\sqrt{x^2+6x+10}-\sqrt{x^2-10x+29}$.

kuing

lemondian 发表于 2024-8-28 00:07
例如求这个的最值：
$y=\sqrt{x^2+6x+10}-\sqrt{x^2-10x+29}$.

这个就要判断无穷远咯。

记为 `y=g(x)`，定义域 R，按上述方程解出两解 x=-11 和 x=-1/3，
算出 `g(-11)=-\sqrt{65}`, `g(-1/3)=-\sqrt{73}/3`，以及极限 `g(-\infty)=-8`, `g(+\infty)=8`，
四数大小 `g(-11)<g(-\infty)<g(-1/3)<g(+\infty)`，所以值域是 `[-\sqrt{65},8)`。

kuing

反正这种所谓新求法其实就是给出了这一种特定形式的函数的极值点满足的方程，这方程容易记忆，记住它，考试时如果运气好，恰好有这样的题，或许能节省一分钟，仅此而已。