构建从 $D^n$ 到 $S^n$ 的连续映射

hbghlyj

首先，对于 $n=2$，将圆盘抬升到圆锥面然后缩放到相同高度的球体部分上

对于圆盘$D^2=\{(x,y):x^2+y^2\leq1\}$上的每个点$(x,y)$，我们将它抬升到圆锥上的点：$$(x,y,\sqrt{x^2+y^2})$$
然后缩放x,y坐标(保持 z 坐标不变)以使该点位于球$S^2=\{(x,y,z):x^2+y^2+z^2=1\}$上：$$(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\sqrt{1-x^2-y^2},\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\sqrt{1-x^2-y^2},\sqrt{x^2+y^2})$$如何看出这个映射是连续的？

hbghlyj

尝试将此公式推广到 $n$.
我们将圆盘 $D^n=\{(x_1,\dots,x_n):x_1^2+\dots+x_n^2\leq1\}$ 上的每个点$$(x_1,\dots,x_n)$$映射到球 $S^n=\{(x_1,\dots,x_{n+1}):x_1^2+\dots+x_{n+1}^2=1\}$ 上的一个点$$(\frac{x_1}{\sqrt{x_1^2+\dots+x_n^2}}\sqrt{1-x_1^2-\dots-x_n^2}\quad,\dots,\quad\frac{x_n}{\sqrt{x_1^2+\dots+x_n^2}}\sqrt{1-x_1^2-\dots-x_n^2}\quad,\quad\sqrt{x_1^2+\dots+x_n^2})$$