非负实数a,b,c满足$a+b+c=1$，求证：$9abc-7(ab+bc+ca)+2\geq0$

郝酒

RT，原题是已知：$a+b+c=1$，求证：$(1+a)(1+b)(1+c)\geq8(1-a)(1-b)(1-c)$.

我想着展开能做，但是感觉并不太容易。

有没有对一个代数式自动配方的算法，来说明一个东西是大于零的.

kuing

还是得齐次化先

配方算法应该是有的，但我不了解

kuing

变量非负条件下，三元齐三次对称不等式 `f(x,y,z)\geqslant0` 恒成立的充要条件是 `f(1,0,0)\geqslant0` 且 `f(1,1,0)\geqslant0` 且 `f(1,1,1)\geqslant0`。

证明：当变量非负时，由 Schur 不等式有
\[\sum x^3-\sum(x^2y+xy^2)+3xyz=\sum x(x-y)(x-z)\geqslant0,\]
由均值有
\[\sum(x^2y+xy^2)-6xyz\geqslant0,\]
三元齐三次对称多项式可以设为
\[f(x,y,z)=p\sum x^3+q\sum(x^2y+xy^2)+rxyz,\]
必然可以整理成以下形式
\[f(x,y,z)=A\left( \sum x^3-\sum(x^2y+xy^2)+3xyz \right)+B\left( \sum(x^2y+xy^2)-6xyz \right)+Cxyz,\]
而此时有
\begin{align*}
f(1,0,0)&=A,\\
f(1,1,0)&=2B,\\
f(1,1,1)&=C,
\end{align*}
所以当以上三者都非负时就有 `f(x,y,z)\geqslant0` 恒成立。反之，当 `f(x,y,z)\geqslant0` 恒成立时，当然也包含了 `f(1,0,0)`, `f(1,1,0)`, `f(1,1,1)` 这三个点非负，所以是充要的。

郝酒

kuing 发表于 2024-9-20 14:26
变量非负条件下，三元齐三次对称不等式 f(x,y,z)>=0 成立的充要条件是 f(1,0,0)>=0 且 f(1,1,0)>=0 且 f(1, ...

谢谢ku版，这个充要条件的结论好像很强的样子。是通过调整法证明的吗？

回到帖子的问题，有$a+b+c=1$这个条件，能否把这个充要条件改成：f(1/2,1/2,0)>=0和f(1/3,1/3,1/3)>=0？

kuing

郝酒 发表于 2024-9-20 14:36
...
回到帖子的问题，有$a+b+c=1$这个条件，能否把这个充要条件改成：f(1/2,1/2,0)>=0和f(1/3,1/3,1/3)>=0？

可以的。
在仅非负条件时，由于齐次，“f(1,0,0)>=0 且 f(1,1,0)>=0 且 f(1,1,1)>=0”就等价于“f(x,0,0)>=0 且 f(x,x,0)>=0 且 f(x,x,x)>=0”，所以标准化 `a+b+c=1` 就是 f(1,0,0)>=0 且 f(1/2,1/2,0)>=0 且 f(1/3,1/3,1/3)>=0

Aluminiumor

$$\begin{align*}
& 9abc-7(ab+bc+ca)(a+b+c)+2(a+b+c)^3
\\=&2\sum a(a-b)(a-c)+\sum a(b-c)^2
\end{align*}$$

Aluminiumor

$$x\geq0,\ln\frac{1+x}{1-x}\geq\frac94x+\ln2-\frac34$$
$$\Longrightarrow\ln\left(\frac{1+a}{1-a}\cdot\frac{1+b}{1-b}\cdot\frac{1+c}{1-c}\right)\geq\frac94(a+b+c)+3\ln2-\frac94=3\ln2$$
$$\Longrightarrow\frac{1+a}{1-a}\cdot\frac{1+b}{1-b}\cdot\frac{1+c}{1-c}\geq8$$

郝酒

Aluminiumor 发表于 2024-9-20 15:14
$$\begin{align*}
& 9abc-7(ab+bc+ca)(a+b+c)+2(a+b+c)^3
\\=&2\sum a(a-b)(a-c)+\sum a(b-c)^2

谢谢您的回复.
这种相对复杂的变形是怎么想到的呀？如何训练自己这种配凑的能力？

另外，变形到这一步后，如何说明它是非负的呢？
后面的和式是非负的，前面的和式里有两项是正的，但是负的那一项该如何处理呢？
例如不妨设$a\geq b\geq c$
前一个和式的三项：$a(a-b)(a-c)$和$c(c-a)(c-b)$是非负的，但$b(b-c)(b-a)$这一项是负的，需要和后面一个和式合起来考虑吗？

kuing

当然，原题最简单的方法是 `1+a=1-b+1-c\geqslant 2\sqrt {(1-b)(1-c)}`，另两式同理，三式相乘即得。