计算一个 n 阶行列式的值

TSC999

计算下面 n 阶行列式的值：


第 n 行用该行减去上一行代替，第 n-1 行用该行减去上一行代替，第 n-2 行用该行减去上一行代替，.......，
第 2 行用该行减去第 1 行代替，第 1 行不变。
如此变换后行列式的值不变。此时行列式为：


经计算知， D2= -2;  D3= -3; D4=4;  D5= 5; D6= -6;  D7= -7; D8=8;  D9=9; D10= -10;  D11= -11;
D12=12;  D13=13; .......Dn=(-1)^f(n) n。
求 f(n) 的表达式。

TSC999

f(n) =  Mod[n (n - 1)/2, 2]
其中 Mod[ ] 表示同余函数，即 n (n - 1)/2 除以 2 的余数即是 f(n)。
对不对？
还有没有更好的表达式？

kuing

TSC999 发表于 2024-10-8 12:13
f(n) =  Mod[n (n - 1)/2, 2]
其中 Mod[ ] 表示同余函数，即 n (n - 1)/2 除以 2 的余数即是 f(n)。
对不对 ...

既然是 -1 的次数，那 mod 2 可以省略，直接 n(n-1)/2 得了，答案就是 n*(-1)^(n(n-1)/2)。

另外，如果公式是在 mathematica 上输入的，其实右键就可以复制为 latex 代码，就不用贴图了。

TSC999

确实，同余是多余的，是画蛇添足。直接用 n(n-1)/2 多简明。
这个行列式用完全展开式的方法计算时，不等于零的项只有一项，其绝对值就是副对角线上各元素的乘积 \(n\cdot1\cdot1\cdots1\cdot1\cdot1=n\)，前面的正负号取决于排列  n(n-1)(n-2)(n-3)\(\cdots\cdot3\cdot2\cdot1\) 逆序数之和 S。
S=0+1+2+3+\(\cdots\)+(n-1)=n(n-1)/2