等角螺线

hbghlyj

浅谈对数螺旋线
四个乌龟的问题  四个海龟在正方形的四角,每个海龟都以同样的速度径直向它前面的海龟爬去(甲始终朝着乙的位置前进,乙始终朝着丙的位置前进,丙朝着丁,丁朝着甲的方向走),那么,每一时刻它们四个都处在某个正方形的角A₁,B₁,C₁,D₁上.(cut-the-knot)

图一

由于在A₁点的乌龟朝向在B₁点的乌龟,所以,A₁点的乌龟在此一时刻的速度方向为A₁B₁,所以其路径在A₁点的切线与OA₁形成 45°的夹角.
一般而言,若一曲线在每个点P的切向量都与某定点O至此点P所成的向量夹成一定角,且定角不是直角,则此曲线称为一等角螺线 (equiangular spiral).
极坐标方程  设曲线$r=f(\theta)$上任意点P处的切向量与$\overline{OP}$的夹角α为定值($0<\alpha<\pi, \alpha \neq \frac{\pi}{2}$),则有$\cot\alpha=\frac{f'(\theta)}{f(\theta)}$,积分得,$\theta\cot\alpha=\ln{f(\theta)}-\ln a$  ($a$是常数),即$f(\theta)=a\;e^{\theta\cot\alpha}$.
所以,等角螺线也称为对数螺线 (logarithmic spiral).
设$\cot\alpha>0$,则当$\theta\to-\infty$时,曲线无限趋于原点(但达不到原点);当$\theta\to\infty$时,曲线越来越远.
设$P_1,P_2,\cdots$的辐角$\theta_1,\theta_2,\cdots$构成一个等差数列,则对应的向径$ae^{\theta_1\cot\alpha},ae^{\theta_2\cot\alpha},\cdots$构成等比数列,即$\overline{O P_{1}},\overline{O P_{2}},\overline{O P_{3}}$构成等比数列,又因$\angle P_1OP_2=\angle P_2OP_3=\cdots$,所以$\triangle P_1OP_2\sim\triangle P_2OP_3\sim\cdots$.特别地,若$\angle P_1OP_2=\angle P_2OP_3=\cdots=2\pi$,则$P_1,P_2,\cdots$是从极点出发的一射线与等角螺线的交点.可见:从极点出发作射线与等角螺线的交点到原点的距离成等比数列.这一条性质又与下面的性质有关:
将等角螺线关于极点伸缩k倍(k>0),方程变为$r=kae^{\theta\cot\alpha}=ae^{(\theta+\varphi)\cot\alpha}$  ($\varphi=\ln k\tan\alpha$),所以得到的曲线与等角螺线绕原点旋转一定角度得到的曲线相同.

图二

根据前段的说明,我们可以了解:等角螺线上的一段弧经伸缩若干倍后,必与该等角螺线上的另一弧全等.等角螺线的这项特性,使得自然界中许多物体都呈现等角螺线的形状.例如:许多贝壳都很接近等角螺线的形状,因为生活在壳内的动物在成长过程中都是均匀地长大,这就像相似地放大,所以,新生的部分所栖息的空间必与原有空间形状相似.象鼻,动物的角与毛等都呈等角螺线形.在植物中,向日葵,凤梨与雏菊上的螺旋纹也都呈等角螺线形.
趣史一则  等角螺线的性质,笛卡儿(R. Descartes, 1596～1650)在1638年就已经考虑过,但没有获得特殊结果.托里拆利(E. Torricelli, 1608～1647年)在1645年发现有关等角螺线弧长的一项性质,在下文中将会介绍.
对于等角螺线的探讨,以伯努利(J. Bernoulli, 1654～1705年)的成果最为丰硕.他发现将等角螺线作某些变换时,所得的曲线仍是全等的等角螺线.除了上面提到的关于极点作伸缩变换以外,还有:对极点求垂足曲线 (pedal curve);求渐屈线 (evolute);对极点求反演曲线 (inversive curve);求焦线 (caustic curve);详见后文.

由于这些变换都可以使等角螺线再生,这个现象使伯努利大为欣慰,所以,临殁遗言要将等角螺线的这些性质刻在他墓碑上,同时题上一句话: 'Eadem mutata resurgo'(虽然某些状况改变了,我却保持不变).这是继阿基米德(公元前三世纪)之后,另一位在墓碑上表现其成果的数学家.

图三

但是实际上工匠刻上了阿基米德螺线

黄金分割与等角螺线  环绕一个定点而相似地缩小,这是等角螺线在其极点附近呈现的形状.假如我们将多边形环绕一个定点相似地缩小,是不是会与等角螺线产生关联呢?

图四

在上图中,$\Box ABDF$,$\Box CDFH$,$\Box EFHJ$,$\Box GHJK$,$\Box IJKL$,… 等是一系列的矩形,这些矩形中每两个都相似(亦即:边的比值相等),而且后一矩形都是由其前面的矩形挖掉一个正方形而得的.如:$\Box CDFH$ 是由 $\Box ABDF$ 挖掉正方形 $\Box ABCH$ 而得的.此时,上列矩形的第一个顶点 A,C,E,G,I,K … 等会落在一等角螺线上,此等角螺线的极点是 $\overline{AE}$,$\overline{BF}$,$\overline{CG}$,$\overline{DH}$ 等共交的点 O.若以 O 为极点,射线 $\overrightarrow{OE}$ 为极轴,且 A 的极坐标为 $(a,\pi)$,则此等角螺线的极坐标方程式为
$$r=\frac{a}{\phi^2}(\phi^{2/\pi})^{\theta}$$其中 $\phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$.此等角螺线通常称为黄金螺线.
为什么会扯上 $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ 呢?原来这个数就是上述相似矩形的长边与短边的长度之比.因为由 $\Box ABDF\sim\Box CDFH$ 可得\begin{array}{l}\overline{B D}: \overline{B C}=\overline{B C}: \overline{C D} \\ 1+(\overline{C D}: \overline{B C})=\overline{B C}: \overline{C D} \\ (\overline{B C}: \overline{C D})^{2}-(\overline{B C}: \overline{C D})-1=0 \\ B C: C D=\frac{1+\sqrt{5}}{2} \quad(\because \overline{B C}: \overline{C D}>1)\end{array}若线段 $\overline{BD}$ 上的一点 C 满足 $\overline{BD}:\overline{BC} = \overline{BC}:\overline{CD}$,则称 C 点将 $\overline{BD}$ 黄金分割.当 C 点将 $\overline{BD}$ 黄金分割时, $\overline{BD}:\overline{BC}$(或 $\overline{BC}:\overline{CD}$)的值是 $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$,此数称为黄金分割比.若一矩形的长边与短边的比值为 $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$,则此矩形称为黄金矩形.
由黄金矩形可引出等角螺线,将矩形改成三角形,也会有同样的结果吗?
在下图中 $\triangle ABC$,$\triangle BCD$,$\triangle CDE$,$\triangle DEF$,$\triangle EFG$,$\triangle FGH$,……等是一系列的等腰三角形,这些等腰三角形中每两个都相似,而且后一等腰三角形,都规定是由其前面的等腰三角形挖掉一个等腰三角形而得的.例如:$\triangle BCD$ 是由 $\triangle ABC$ 挖掉等腰三角形 $\triangle DAB$ 而得的.

图五

此时,上列等腰三角形的顶点 A,B,C,D,E,F,G,H,……等会落在一等角螺线上,此等角螺线的极点是 $\overline{AF}$ 与 $\overline{BG}$ 的交点 O.
若以 O 为极点,射线 $\overrightarrow{OB}$ 为极轴,且 A 的极坐标为 $(a,\frac{3\pi}{5})$,则此等角螺线的极坐标方程式为$$r=\frac{a}{\phi}(\phi^{5/3\pi})^\theta$$其 $\phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$.此等角螺线也称为黄金螺线.
此等角螺线也扯上 $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$,其理由如下:上述的相似等腰三角形 ABC 等,可证明其顶角为 36°,而底角为 72°,所以, $\overline{AB}: \overline{BC} = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$.此种三角形称为黄金三角形.
等角螺线的弧长  假定我们想计算等角螺线 $r=ae^{\theta\cot\alpha}$ 上,辐角 θ 满足 $\beta \leq \theta \leq \gamma$ 那段弧的长,利用前面所提的相似性质,我们可将区间 $[\beta,\gamma]$ 等分成 n 等分,设每一等分的长为 h,即 $h=\frac{\gamma-\beta}{n}$.又令 P_i 表示极坐标 ( $ae^{\beta+ih}\cot\alpha, \beta+ih$) 的点,i=0,1,2,…,n,先考虑所得折线的长 $\overline{P_0P_1}$ + $\overline{P_1P_2}$ + … + $\overline{P_{n-1}P_n}$.若这个和在 $n\rightarrow\infty$(或 $h \rightarrow 0$)时的极限存在,则其极限值就是所欲求的弧长.
上述的折线长怎么计算呢?因为 $\triangle P_iOP_{i+1}$ 与 $\triangle P_0OP_1$ 相似,所以 $\overline{P_iP_{i+1}} : \overline{P_0P_1}$ = $\overline{OP_i}:\overline{OP_0}$ = $e^{ih\cot\alpha}$,由此可得\begin{aligned} & \overline{P_{0} P_{1}}+\overline{P_{1} P_{2}}+\cdots+\overline{P_{n-1} P_{n}} \\=& \overline{P_{0} P_{1}} \cdot\left(1+e^{h \cot \alpha}+e^{2 h \cot \alpha}+\cdots+e^{(n-1) h \cot \alpha}\right) \\=& \overline{P_{0} P_{1}} \cdot \frac{e^{(\gamma-\beta) \cot \alpha}-1}{e^{h \cot \alpha}-1} \quad\left(\text{Suppose } 0<\alpha<\frac{\pi}{2}\right) \end{aligned}另一方面,利用余弦定律可求得$$\overline{P_0P_1}^2=a^2e^{2\beta\cot\alpha}[(e^{h\cot\alpha}-1)^2+4e^{h\cot\alpha}\sin^2\frac{h}{2}]$$再根据L'Hospital法则,可得$$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{2\sin\frac{h}{2}}{e^{h\cot\alpha}-1}=\frac{1}{\cot\alpha}=\tan\alpha$$由此可得\begin{aligned} \lim _{h \rightarrow 0} \frac{\overline{P_{0} P_{1}}}{e^{h \cot \alpha}-1} &=a e^{\beta \cot \alpha }\sqrt{1+\tan ^{2} \alpha} \\ &=a e^{\beta \cot \alpha} \sec \alpha \end{aligned}
\begin{array}{l}\lim\limits _{h \rightarrow 0}\left(\overline{P_{0} P_{1}}+\overline{P_{1} P_{2}}+\cdots+\overline{P_{n-1} P_{n}}\right) \\ \quad=a e^{\beta \cot \alpha} \sec \alpha\left(e^{(\gamma-\beta) \cot \alpha}-1\right) \\ \quad=a \sec \alpha\left(e^{\gamma \cot \alpha}-e^{\beta \cot \alpha}\right)\end{array}
由此可知:在等角螺线 $r=ae^{\theta\cot\alpha}$ 上,辐角 θ 满足 $\beta \leq \theta \leq \gamma$ 那段弧的长为:$$a\sec\alpha(e^{\gamma\cot\alpha}-e^{\beta\cot\alpha}) \; ,$$此值等于该弧的两端点向径之差与 $\sec\alpha$ 的乘积.
在 $0<\alpha<\frac{\pi}{2}$ 的情形中,因为当 $\theta\rightarrow-\infty$ 时,可得 $ae^{\theta\cot\alpha}\rightarrow 0$,所以,极点可以看成是等角螺线的一个终极位置.我们也因此可以问:由点 $P (a e^{\beta \cot \alpha}, \beta)$ 绕回极点 O 的长度为多少?这段弧是辐角 θ 满足 $-\infty < \theta \leq \beta$ 所对应的部分,它的长度可以分别考虑 θ 满足 $\beta-1\leq\theta\leq\beta$, $\beta-2\leq\theta\leq\beta-1$,… 等部分的弧长,然后相加而得.因此,由 $P (a e^{\beta \cot \alpha}, \beta)$ 至 O 的弧长等于\begin{array}{l}\sum\limits_{n=0}^{\infty} a \sec \alpha\left(e^{(\beta-n) \cot \alpha}-e^{(\beta-n-1) \cot \alpha}\right) \\ \quad=a \sec \alpha \cdot e^{\beta \cot \alpha} \\ \quad=\overline{O P} \cdot \sec \alpha\end{array}前面所得的结果,可以做一项有趣的几何解释:过 O 作一直线与 $\overline{OP}$ 垂直,因为过 P 的切线与 $\overline{OT}$ 不垂直,所以,上述垂直线与切线交于一点 T.由于 $\angle OPT=\alpha$,于是,可得 $\overline{PT}=\overline{OP}\cdot\sec\alpha$.换言之,由 P 点绕回 O 点的弧长与 $\overline{PT}$ 的长相等,这就是托里拆利所发现的性质.

图六

前段所提的性质,还可作如下的解释:设想等角螺线在直线 PT 上作不滑的滚动,则极点 O 最后会移动到 T,而且在滚动过程中,O 点的运动路径就是 $\overline{OT}$.
等角螺线的再生性质  垂足曲线:设 C 为一曲线而 O 为一定点,自 O 向 C 的所有切线作垂直线,则所有垂足所成的图形称为曲线 C 对定点 O 的垂足曲线.
若 C 是等角螺线 $r=ae^{\theta\cot\alpha}$,则 C 对其极点的垂足曲线是一个全等的等角螺线,为什么呢?在图六中,若 $H(r,\theta)$ 是在切线 PT 上的垂足,则 $r=\overline{OH}$ $=\overline{OP} \sin \alpha$,而 $\theta + (\pi/2-\alpha)$ 是 P 的辐角(设 $0<\alpha<\pi/2$).因此,可得$$r = \overline{OP}\sin\alpha= (a\sin\alpha)e^{(\theta-\alpha+\frac{\pi}{2})\cot\alpha}$$
换言之,所有 H 点构成等角螺线 $r=(a\sin\alpha)e^{(\theta-\alpha+\frac{\pi}{2}) \cot \alpha}$.

焦线:设 C 为一曲线而 O 为一定点,将过 O 的所有直线都对曲线 C 作反射,若反射所得的所有直线都是某曲线的切线,则此曲线称为曲线 C 对定点 O 的焦线.
若 C 是等角螺线 $r=ae^{\theta\cot\alpha}$,则 C 对其极点的焦线是一个全等的等角螺线,我们说明如下.设 P 是等角螺线 C 上一点,$R(r,\theta)$ 是极点 O 对于过 P 之法线的对称点,则直线 OP 对等角螺线 C 反射,所得的直线就是直线 PR(见图六).显然, $r=\overline{OR} = 2\overline{OP}\cos\alpha$,而且 $\theta-\alpha$ 是点 P 的辐角(设 $0<\alpha<\frac{\pi}{2}$).因此,可得
$$r=2\overline{OP}\cos\alpha=(2a\cos\alpha)e^{(\theta-\alpha)\cot\alpha}$$换言之,所有 R 点构成等角螺线 $r=(2a\cos\alpha)e^{(\theta-\alpha) \cot \alpha}$.因为此等角螺线过 R 点的切线与直线 OR 的夹角等于 α,而直线 PR 正具有这项性质.也就是说,直线 PR 就是此等角螺线在 R 点的切线.因此,此等角螺线就是原等角螺线 $r=e^{\theta\cot\alpha}$ 对极点 O 的焦线.

渐屈线:设 C 为一曲线,作 C 的所有法线,若所有法线都是某曲线的切线,则此曲线称为曲线 C 的渐屈线.
若 C 是等角螺线 $r=e^{\theta\cot\alpha}$,则 C 的渐屈线是一个全等的等角螺线,我们说明如下.设 P 是等角螺线 C 上一点,$N(r,\theta)$ 在过 P 的法线上而且 $\overline{ON}\perp\overline{OP}$(见图六).显然, $\overline{ON}=\overline{OP}\cot\alpha$,而且 $\theta-\frac{\pi}{2}$ 是点 P 的辐角(设 $0<\alpha<\frac{\pi}{2}$).因此,可得
$$r=\overline{OP}\cot\alpha=(a\cot\alpha)e^{(\theta-\frac{\pi}{2})\cot\alpha}$$换言之,所有 N 点构成等角螺线 $r=(a\cot\alpha)e^{(\theta-\frac{\pi}{2}) \cot \alpha}$.因为此等角螺线过 N 点的切线与直线 ON 的夹角等于 α,而法线 PN 正具有这项性质.也就是说,法线 PN 就是此等角螺线在 N 点的切线.因此,此等角螺线就是 $C:r=ae^{\theta\cot\alpha}$ 的渐屈线.
曲线 C 的渐屈线也可定义为'曲线 C 的每个点的曲率中心所成的图形'.在图六中,该等角螺线在 P 点的曲率中心就是 N,曲率半径就是 $\overline{NP}$( $= \overline{OP}\csc\alpha$).

习题:
试证图六中的所有 T 点所成的图形仍是一个全等的等角螺线,称为原等角螺线的渐伸线 (involute).

其他螺线举例  除了等角螺线外,数学上还有许多不同形式的螺线,像阿基米德螺线,双曲螺线 (hyperbolic spiral),抛物螺线 (parabolic spiral),连锁螺线 (lituus) 等,其中的阿基米德螺线最为有趣,我们略作介绍如下.
向径与辐角的比值是常数时,其轨迹称为阿基米得螺线.以极座标表示时,其方程式为 $r=a\theta$,其中 a 是常数.
早在古希腊时代,大数学家阿基米德就对这种螺线作过研究,并写成一篇名为《On spirals》的作品.
在图七(左)中,PQR 是一把木匠用的曲尺,其短臂的内侧 $\overline{PQ}$ 之长为 a,圆 O 的半径也为 a,A 与 B 是圆 O 上两点,而且 $\angle AOB$ 是直角.首先,将曲尺上的 P 与 Q 分别置于 O 与 B,然后将曲尺的长臂内侧 $\overline{QR}$ 沿着圆 O 滚动,则在滚动过程中,P 点所经过的路径就是阿基米德螺线 $r=a\theta$ 的一部份.为什么呢?在图七(左)中,$\overline{QR}$ 已经滚动到与 O 相切于 T 点.则 $\overline{TQ}$ = 弧TB 的长.设 $\angle AOP=\theta$.于是,可得 $r = \overline{OP}$ = $\overline{TQ}$ = 弧 TB 的长 = $a\theta$(此处 θ 以弧度为单位).
因为向径与辐角成比例,所以,阿基米德螺线可用来将等角速运动转换成等速直线运动,在图七(右)中,有一个心状的图形是由两段全等的阿基米德螺线弧所接合而成,它们的极点都是 O,其上的 F 则连接在一个可上下移动的杆子上.当心状图形以等角速绕 O 点转动时,就可带动上面的杆子作等速直线运动.

图七

将阿基米德螺线对其极点作反演变换 (inversion),所得的反演曲线是一双曲螺线,所谓反演变换,其意义如下:设圆 O 的半径为 k,而 P 是异于 O 的任意点.若 Q 点在射线 $\overrightarrow{OP}$ 上且满足 $\overline{OP} \cdot \overline{OQ} = k^2$,则称 Q 是 P 对圆 O 的反演像(inverse).若 D 是极坐标系中的极点,则上式表示 P 的向径 r 与 Q 的向径 r' 满足$rr'=k^2$.设 C 为一曲线,则 C 上每个点对圆 O 的反演像所成的图形,称为曲线 C 对圆 O 的反演曲线.
根据上述定义,等角螺线 $r=ae^{\theta\cot\alpha}$ 对圆 O 的反演曲线为 $r=\frac{k^2}{a}e^{-\theta\cot\alpha}$,这是一个全等的等角螺线.阿基米德螺线 $r=a\theta$ 的反演曲线是 $r\theta=\frac{k^2}{a}$,这是双曲螺线.
极坐标方程式为 $r^2\theta=a^2$ 的曲线称为连锁螺线,它对圆 O 的反演曲线为 $r^2=\frac{k^4}{a^2}\theta$,这曲线称为费马螺线,它是抛物螺线 $(r-a)^2=b^2\theta$ 的特殊情形.

阿基米德螺线(Archimedean spiral -- wikipedia)	双曲螺线(Hyperbolic spiral -- wikipedia)	连锁螺线(Lituus -- wikipedia)

习题:
1. 试证双曲螺线 $r\theta=a$ 有一水平渐近线$y=a$.
2. 试证连锁螺线 $r^2\theta=a^2$ 有一水平渐近线$y=0$.

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关于小狗追逐问题的讨论

题目:等边三角形定点A,B,C,边长为L.三条狗分别在三角形的三个顶点上.此时吹哨放狗,A狗追B狗,B狗追C狗,C狗追A狗.它们的速度都是V.请问经多长时间三条小狗相遇在同一点?

补充说明:狗的运动轨迹不是直线运动,A狗的一直盯着B狗.B狗在移动,A狗运动方向也在发生变化,A狗运动方向是轨迹的切线方向.B,C狗的运动和A狗的运动情况相同.
一开始接到这个题觉得无从下手,对称性的直觉告诉我这三个动点最后是会交于一点的,这个点也必然是正三角形的中心.而且过程中ABC三点应该保持正三角形不变.
题目要求的是相遇时间,由于小狗速度不变化,所以我的思路是通过绘制出动点的轨迹,通过路程求得时间.首先假设轨迹线是圆/椭圆/正弦曲线的一部分,但是很快发现矛盾:如图所示,运动方向是轨迹的切线方向,那么轨迹线上必然有一点的切线方向与y轴方向相同.即该点位于直线m上.若轨迹线为圆/椭圆/正弦曲线,则该点位于直线n上.动点除初始位置外,只会出现在正三角形内部;故假设错误.
这样一来轨迹至少不会是对称图形了,束手无策.

回到寝室打开电脑还是对这道题耿耿于怀,遂想到利用微分的思想描点绘制轨迹图.(其实就是暴力求解啦)
人比较懒,就没有用C++写.以下是用php实现的轨迹点计算.
动点运行速度:1长度单位/时间单位;正三角形边长:1长度单位.
绘制得到的轨迹:

步距	结束条件	相遇时间	迭代次数	程序运行时间
0.01	0. 0001	0.66993811520314	114	0.005311
0.001	0. 00001	0.66737538097065	714	0.029034
0.0001	0. 000001	0.66677652892553	6715	0.354614

基于程序数据可以确定,相遇时间是2/3个时间单位
数学求解:和1楼类似,$\frac{r(\theta)}{\mathrm{r}^{\prime}(\theta)}=\tan \psi=\tan 30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$
解得$r(\theta)=a \cdot e^{\sqrt{3} \theta}$
边界条件$r(\theta)=\frac{\sqrt{3}}{3}(\text { 当 } \theta=0)$
故得到曲线方程$r(\theta)=\frac{e^{\sqrt{3} \theta}}{\sqrt{3}}$
使用mathematica得到其图像与程序运行所得的图像吻合

求解曲线长度:$C=\int_{-\infty}^{0} \sqrt{x^{\prime 2}(\theta)+y^{\prime 2}(\theta)} d \theta$
其中$\Bigg\{\begin{array}{ll}x=r \cos \theta=\frac{e^{\sqrt{3} \theta}}{\sqrt{3}} \cos \theta, & x^{\prime}(\theta)=\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\sqrt{3} e^{\sqrt{3} \theta} \cos \theta-\sin \theta e^{\sqrt{3} \theta}\right) \\ y=r \sin \theta=\frac{e^{\sqrt{3} \theta}}{\sqrt{3}} \sin \theta, & x^{\prime}(\theta)=\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\sqrt{3} e^{\sqrt{3} \theta} \sin \theta+\cos \theta e^{\sqrt{3} \theta}\right)\end{array}$\begin{array}{l}C&=\int_{-\infty}^{0} \sqrt{\frac{1}{3}\left[\left(\sqrt{3} e^{\sqrt{3} \theta} \cos \theta-\sin \theta e^{\sqrt{3} \theta}\right)^{2}+\left(\sqrt{3} e^{\sqrt{3} \theta} \sin \theta+\cos \theta e^{\sqrt{3} \theta}\right)^{2}\right]} d \theta \\ &=\int_{-\infty}^{0} \sqrt{\frac{1}{3}\left(3 e^{2 \sqrt{3} \theta}+e^{2 \sqrt{3} \theta}\right)} d \theta=\int_{-\infty}^{0} \frac{2}{\sqrt{3}} e^{\sqrt{3} \theta} d \theta=\left.\frac{2}{3} e^{\sqrt{3} \theta}\right|_{-\infty} ^{0}=\frac{2}{3}\end{array}计算结果与程序运行结果一致.
本例中的对数螺线在原点附近是不断趋近于原点的,换句话说,从数学上看,小狗是不断接近而无法相遇的,所以所求得的时间是没有意义的.(见"芝诺悖论")
一番百度,终于找到一个十分巧妙的解答:

"以一条小狗为参考系,他会看到其它两个小狗都相距他L,然后其它两条小狗都以某个同样速度接近他.最后达到他身边.这个速度不是V,因为V是每条小狗对地面参考系的速度.真正的速度应该是3/2V,这3/2V里面有V是一个小狗追赶第二个小狗的速度,有1/2V是第二个小狗追赶第三个小狗的同时造成使他接近第一个小狗的速度分量.所以,时间是2L/3V."

真的很巧妙,从头到尾我的思维都被束缚在了静态的坐标纸上面,从来没有想过以小狗为参照系会发生什么情况,这是思维模式上的差异了吧.天才在我们无法想象的地方遥遥的领先着.

最后,既然写了一个程序来算这个题目,那么可以很方便地修改初始参数,尝试不同的三角形会带来怎样的曲线.

等腰直角三角形，收敛点(-0.018,0.24)

勾三股四三角形，收敛点(1.18,1.57)

任意钝角三角形，收敛点(0.54,0.97)

hbghlyj

圆上的追逐问题
一只猫 C 追逐一只老鼠 M,已知猫 C 追赶时其速度方向始终指向老鼠 M.假设猫 C 速度是猎物的 n 倍,即$|\vec{v}|=n\left|\overrightarrow{v_{m}}\right|$.
解:$\vec{r}=x \,\vec{i}+y \,\vec{j}$和$\overrightarrow{r_{m}}=x_{m}\, \vec{i}+y_{m}\, \vec{j}$分别表示猫 C 和老鼠 M 的位置矢量,$\overrightarrow{r^{\prime}}=\overrightarrow{r_{d}}-\vec{r}$是老鼠相对于猫的位置矢量.由已知条件,$$\vec{v}=\dot{x} \vec{i}+\dot{y} \vec{j}=\frac{\overrightarrow{r_{m}}-\vec{r}}{\left|\overrightarrow{r_{m}}-\vec{r}\right|}\left|\overrightarrow{v_{m}}\right|\tag1\label1$$将其写成分量形式$$\dot{x}=n \frac{\left(x_{m}-x\right) \sqrt{\dot{x}_{m}^{2}+\dot{y}_{m}^{2}}}{\sqrt{\left(x_{m}-x\right)^{2}+\left(y_{m}-y\right)^{2}}}, \dot{y}=n \frac{\left(y_{m}-y\right) \sqrt{\dot{x}_{m}^{2}+\dot{y}_{m}^{2}}}{\sqrt{\left(x_{m}-x\right)^{2}+\left(y_{m}-y\right)^{2}}}\tag2\label2$$
如果$\left(x_{m}, y_{m}\right)$是时间的给定函数,\eqref{2}是平面上的一个常微分方程. 若猫的初始位置$\left(x_{0}, y_{0}\right)$已知,就可确定其运动方程$x(t),y(t)$和轨迹.
如果老鼠 M 沿一个单位圆奔跑,即$\left(x_{m}, y_{m}\right)=(\cos t, \sin t)$,如图 6(b)所示,那么\eqref{2}可写成$$\dot{x}=n \frac{(\cos t-x)}{\sqrt{(\cos t-x)^{2}+(\sin t-y)^{2}}}, \quad \dot{y}=n \frac{(\sin t-y)}{\sqrt{(\cos t-x)^{2}+(\sin t-y)^{2}}}\tag3\label3$$

kuing

那我也贴一下当年的存档：
我在 2011 年推导过这个问题，为此还推出极坐标切线方程：
（超长图片）