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代数几何的语言在历史上经历了好几次相当大的重新改写，已经从一百多年前运用的分析和射影几何的语言，变成了如今极端抽象的代数语言，其所包含的丰富而深刻的几何内涵不容易被解读出来。本文给出了一个比较符合代数几何历史发展过程、由浅入深的学习方案，以期对代数几何的初学者们有所帮助。
一、初级代数几何
由Miles Reid写的
Undergraduate Algebraic Geometry ,
Cambridge University Press, 1988
《大学代数几何》
Undergraduate Algebraic Geometry
作者：〔英〕M.Reid (M.里德)
该书写得浅显易懂，内容有平面曲线、仿射簇、射影簇等，仅讲到3次代数曲面上有27条 直线为止。它的最后一章是讲代数几何的历史，写得简短而有趣。好像陕西师范大学出版社在1992年曾经出过它的中译本。
近期出版的本科教材是由Klaus Hulek写的Elementary Algebraic Geometry , American Mathematical Society, 2003，213页。该书的内容和上面的这本教材差不多，但数学讲得多一些，而且增加了很重要的一章“曲线理论入门”，写得很好，记号现代而标准。这本书有高等教育出版社的中译本《初等代数几何》（2014年）。
Springer出版社著名的研究生丛书GTM里也有一本相同书名即Elementary Algebraic Geometry 的书，虽然它是早在1977年就出版的，但是后来又重新再版，作者是基斯·肯迪格。
还有一本极受好评的小册子是由Karen Smith等人写的：
An Invitation to Algebraic Geometry ,
Springer , 2000
《代数几何入门》
这是给一些学分析的人介绍代数几何是什么的讲稿，该书运用了比较多的解说文字和图形，直观而通俗地解释了代数几何中一些基本概念的含义和重要的研究课题。
吴帆老师曾经在多年前就已经将日本代数几何学家上野健尔的一本初级教材《代数几何入门》（岩波书店1995年出版）翻译成了中文，但是不知为何一直没有正式出版。要知道该书早已经被美国数学会出版社翻译成了英文出版，受到了初学者们的普遍欢迎。
二、代数曲线和黎曼曲面
代数几何的大师扎里斯基曾经这样说过：要想理解代数曲面，首先要透彻理解代数曲线。虽然代数曲线属于最简单的代数簇，但其所包含的丰富的代数、几何与拓扑性质在上述代数几何的初级课程里是无法得到充分阐述的，所以需要对代数曲线（或者黎曼曲面）进行专门的论述。
复代数几何大师P. 格列菲斯(Phillip A. Griffiths)在1982年曾经来中国讲了六周的代数曲线理论，其课堂笔记不久用中文正式出版：《代数曲线》（北京大学出版社，1983年，232页）。这本书所需要的准备知识不多，它从最低限度的复变函数论、线性代数和初等拓扑的准备出发，深入浅出地讲解了代数曲线理论中最基本的内容，包括了黎曼-罗赫定理和阿贝尔定理的证明和应用。它叙述精练，证明严格，堪称经典。由于代数曲线是内蕴的黎曼曲面在射影空间里的外在实现形式，所以此书也可以看成是黎曼曲面理论的入门书。
值得一提的是，这本篇幅不大的杰出教材后来又从中文译成了英语，由美国数学会出版社出版：Introduction to Algebraic Curves , American Mathematical Society , 1989（220页），它已经被列为代数曲线理论的基本参考书。
另一本讲代数曲线的公认好书是由Frances Kirwan写的：
Complex Algebraic Curves ,
Cambridge University Press, 1992.
《复代数曲面》
Complex Algebraic Curves
作者：〔美〕F.Kirwan
这本书的优点是清楚地交代了所有初学者们都关心的一些典型的细节问题，如贝祖定理、微分形式、魏尔斯特拉斯p-函数的收敛性、黎曼-罗赫定理的严格证明，以及平面代数曲线的奇点解消等，这些内容在19世纪就已经被数学家们所熟知。
经典的黎曼曲面理论在梅加强老师写的一本教材里得到了比较清楚的阐述：《黎曼曲面导引》（北京大学出版社，2013年，237页），本书用复分析的方法来证明黎曼-罗赫定理(它把除子称为“因子”)，并且运用了基本的层论和上同调方法来揭示黎曼曲面深刻的性质。通过这本书所使用的可以用到一般复流形上的现代复几何方法，可以对复代数几何的内容有一个初步的了解。
当然更好的黎曼曲面理论教材是由Jürgen Jost写的：
Compact Riemann Surfaces ,
Springer , 2006
《紧黎曼曲面 第3版》
Compact Riemann Surfaces,
An Introduction to Contemporary Mathematics,
这本书有一个副标题是An Introduction to Contemporary Mathematics，足以见黎曼曲面理论对于整个当代数学的基本重要性。该书作者认为：黎曼曲面是分析、几何与代数相互作用和融合的一个理想场所，因此最适宜用来显示现代数学的统一性。该书与其他持单一观点讲黎曼曲面的书籍不同，它分别从微分几何、代数拓扑、代数几何、偏微分方程等不同学科的视角来讲黎曼曲面，从而使初学者通过黎曼曲面这一媒介来更好地理解这些现代数学的主要分支学科。该书清晰和准确的写法已经成为讲解黎曼曲面理论的范例，尤其是从代数几何角度讲黎曼曲面的最后一章，值得仔细地品味。
关于黎曼曲面理论的一个很好的综述可见由I.R.Shafarevich(沙发列维奇)主编的Algebraic Geometry I : Algebraic Curves, Algebraic Manifolds and Schemes, Springer, 1994 ，本书的前半部分，它的作者是Shokurov，其内容包括了内蕴的黎曼曲面理论、外在的代数曲线理论、雅可比簇理论和阿贝尔簇理论等章节。
这本好书的后半部分是由Danilov写的关于代数簇和概形的一篇较长的综述，它可以看作是从代数几何的初级课程到代数几何的高级课程——概形理论之间的一座重要桥梁。该综述将代数簇和微分流形进行对比的讲法对初学者的帮助很大，它先讲代数簇中和微分流形类似的理论(如扎里斯基拓扑中的开集、粘贴、向量丛和切空间等)，再讲和微分流形不同的理论(如有理映射、爆发、正规簇和维数理论等)，然后着重讲解代数几何中特有的相交理论，最后一章是介绍概形理论的基本思想。
三、交换环论与同调代数
要学好代数几何，离不开交换环论和同调代数等预备知识。交换环论也称为“交换代数”， 相关的中文教材已经有好几本了，例如有冯克勤老师写的《交换代数》（高等教育出版社，1985年，274页），该书的叙述十分清晰和流畅，特别是专门用了一章(第六章 代数簇和代数整数环)来讲交换环论对于代数几何与代数数论的应用，这就让读者能够很好地了解交换环理论的来龙去脉。
英语文献中最好的交换代数教材可能是D. Eisenbud 所著的：
Commutative
Algebra with a View
toward Algebraic Geometry
《交换代数》
Commutative Algebra
with a View toward Algebraic Geometry
作者：〔美〕D.Eisenbud（D.艾森巴德）
该作者是代数几何的专家，他充分运用了几何学的直观，来仔细地阐述交换环的基本理论,后面还讲了不少同调代数的基本知识。该作者D. Eisenbud在前言中说，这本教材已经包含了阅读Robin Hartshorne 的 Algebraic Geometry 所需要的所有交换代数与同调代数的预备知识。
由于交换代数在目前的抽象代数体系中已经占据了相当重要的地位，所以在正规的抽象代数教程中都要用许多的篇幅来讲交换环论。例如由莫宗坚老师等三人写的《代数学（上、下）》（北京大学出版社，1986年，372+290页），（最近又由高等教育出版社再版）就是这样。这部教材的下册主要讲交换代数，它秉承了与冯克勤书的同样精神，注重解释来龙去脉，很适合初学者。不仅如此，它的下册还与时俱进，用最后的一章来专门介绍现在用得比较普遍的同调代数基本方法。
说到同调代数，它在代数几何中是不可缺少的，例如在层论中要大量地使用同调代数的语言。在这里推荐一本由陈志杰老师写的《代数基础（模、范畴、同调代数与层）》（华东师范大学出版社，2001年，222页）。从这本难得的书的副标题就可以知道，它的所有内容都是代数几何所需要的。特别是它的最后一章(第四章 层及其上同调理论)虽然较短，但却讲得十分清楚，部分原因归结为作者自己所做的清晰排版，因此该书很容易阅读。要知道，层的上同调理论实际上就是代数拓扑中最简单的单纯同调论和奇异同调论的进一步抽象和推广。
现代微分几何的许多重要概念和方法已经被充分地吸收到了代数几何这门学科中，这是因为许多局部的几何性质只能先通过微积分的方法来发现和确定，然后再用拓扑学的上同调方法将局部的性质加以汇总，从而得到整体的几何与拓扑信息。所以必须熟悉微分几何的相关内容，一本比较初等的书是由古志鸣老师写的《几何与拓扑的概念导引》（高等教育出版社，2011年，307页）。正如作者自己所说，这本教材属于“那种对概念解释得很细的书”，它仔细地一步步讲清楚什么是微分流形、流形上的微分形式、黎曼流形上的纤维丛、德拉姆定理，以及庞加莱对偶，用大量具体的例子来说明抽象的几何概念的含义。
四、中级代数几何
交换代数以及其他重要的代数理论的基本思想在I.R.沙发列维奇写的《代数基本概念》（高等教育出版社，2014年，267页）。这本阐释性的书中有不少阐述。这本杰出著作的作者也是上面所介绍的书 Algebraic Geometry I 的主编者，他是一位代数几何与代数数论的大师，亲自撰写过著名的两卷本的 Basic Algebraic Geometry 1 & 2 ,Springer , 1994 。
《基础代数几何 第1卷 第3版》
Basic Algebraic Geometry 1:
Varieties in Projective Space,
3rd Edition
作者：〔俄〕Igor R. Shafarevich
《基础代数几何 第2卷 第3版》
Basic Algebraic Geometry 2：
Schemes and Complex Manifolds,
3rd Edition
作者：〔俄〕Igor R. Shafarevich
（I.R.沙夫罗维奇）
这部教科书被誉为是学习代数几何的“必读”之作，因为它包含了许多在通常的数学著作中很难见到的历史观点和解释性的文字，特别是它对古典的代数几何理论讲得十分清楚，从而可以帮助初学者理解非常抽象的概形理论。
五、高级代数几何（概形理论）
在读了以上的一些基础教材后，就可以开始学习抽象而优美的概形理论了。概形理论是 经典的代数簇理论的极大推广，它是一个在很大程度上将几何、代数、数论与分析完美统一起来的逻辑推理体系。这里只列出一本书： Robin Hartshorne 所著的：
Algebraic Geometry ,
Springer, 1977
《代数几何》
Algebraic Geometry
作者：〔美〕Robin Hartshorne
（R.哈茨霍恩）
虽然它实际上只是格罗腾迪克所写的卷佚浩繁的《代数几何原理》(即著名的EGA)的一个简写本，却也包含了极重的份量。它的第一章讲作为预备知识的传统代数簇的基本理论，第二章是讲概形的基本理论，第三章讲概形的上同调理论，第四、五章的内容是：在概形的基础上讲一般的代数曲线和代数曲面的理论。在这本书的一个附录中还简要介绍了数论中著名的韦依猜想是如何运用概形理论的方法加以解决的。 |
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