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本帖最后由 Czhang271828 于 2024-10-19 20:59 编辑 Cluster 中的老面孔了 (Keller 的学生将 cluster 翻译成丛). 此帖与彼帖都写过.
解释一下. 一个箭图的 quiver mutation 定义为如下四步:
固定一个顶点 $k$, 将所有经 $k$ 的长度为 $2$ 的路连作一条路, 继而反转与 $k$ 相连的箭头, 最后拭去 (抵消) 所有的 $2$-回路. 用 Cluster 的语言解释就是
\begin{align*}
\text{Cluster}&\longleftrightarrow \{\color{red}{\text{cluster variables}}\},\\
\text{Extended cluster}&\longleftrightarrow \{\color{red}{\text{cluster variables}},\color{blue}{\text{cluster variables}}\};\\
\color{blue}{\text{cluster variables}}&\longleftrightarrow \color{blue}{\bullet\text{ frozen vertices}},\\
\color{red}{\text{cluster variables}}&\longleftrightarrow \color{red}{\bullet\text{ mutable vertices}}.
\end{align*}
若将顶点视作自由变量, 一次 quiver mutation 给出以下的改变:
用公式描述, 就是
\begin{align*}
\mu_k:&(Q,x)\mapsto (Q',x');\\[6pt]
Q'&=\mu_k(Q),\\[6pt]
x'&=(x\setminus\{x_k\})\cup \{x_k'\},\\[6pt]
x_k':&=\dfrac{\prod_{j\leftarrow k}x_j+\prod_{i\rightarrow k}x_i}{x_k}.
\end{align*}
Laurent 现象: 对任意 quiver 进行 mutation, 所得变量的分母都是单项式 (没有 $+$ 号).
对有些图, 做一次 quiver mutation 等价于一次旋转, 例如
依照 Laurent 现象, Somos 5-序列的分母只能是 $\{x_0,x_1,x_2,x_3,x_4\}$ 组成的单项式, 从而是 $1$. 类似地,
表明
\begin{align*}
x_0:=x_1:=x_2:=x_3:=1,\quad x_{n+4}:=\frac{x_{n+1}x_{n+3}+x_{n+2}^2}{x_n}\quad (n\in \mathbb N)
\end{align*}
是整数数列. 其实首几项取 $\pm 1$ 都行, 总之 Laurent 现象可以推广这类问题. |
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kuing
发表于 2024-10-19 11:48
isee
发表于 2024-10-19 12:58
