困难的图论题

ic_Mivoya

给定 $n$ 阶有向完全图，点编号为 $1\sim n$，边从编号小的点指向编号大的点。  

从中选取若干条从 $1$ 出发到达 $n$ 的简单路径，满足任意两条路径无公共边。  

求证：路径总边数的最大值为 $\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\left\lceil\sqrt k\right\rceil.$