向量数量积范围

敬畏数学

圆O的半径为1，$OA=2，B，C$为圆O上任意两点，$\vv{CA}\cdot \vv{CB}$范围？

snowblink

如图，设$M$ 为 $A B$中点，$\overrightarrow { A C } \cdot \overrightarrow { B C } = \overrightarrow { C A } \cdot \overrightarrow { C B } = \overrightarrow { C M } ^ { 2 } - \overrightarrow { A M } ^ { 2 } $，
而 $O A ^ { 2 } + O B ^ { 2 } = 2 \left( O M ^ { 2 } + A M ^ { 2 } \right) ,$ 故  $O M ^ { 2 } + A M ^ { 2 } = \dfrac { 5 } { 2 } $，
所以 $\overrightarrow { A C } \cdot \overrightarrow { B C } =  M C^ { 2 } +  M O^ { 2 } - \dfrac { 5 } { 2 } $，
设 $N$ 为 $O C$ 的中点，则 $M C ^ { 2 } + M O ^ { 2 } = 2 \left( M N ^ { 2 } + \dfrac { 1 } { 4 } \right) ，$
所以 $\overrightarrow { A C } \cdot \overrightarrow { B C } = 2 M N ^ { 2 } - 2 $，其中 $0 \leqslant M N \leqslant 2 $，
当 $C$ 为 $A O$ 延长线与圆 $O$ 的交点且 $B$ 为 $O A$ 与圆 $O$ 的交点时取最最大值$6$
当 $B$ 为 $A O$ 延长线与圆 $O$ 的交点且点 $C$ 为 $O A$ 与圆 $O$ 的交点时取最小值$-2$

敬畏数学

snowblink 发表于 2024-10-31 12:41
如图，设$M$ 为 $A B$中点，$\overrightarrow { A C } \cdot \overrightarrow { B C } = \overrightarrow { ...

转的有点猛！头晕了！

爪机专用

固定B、C，设BC=2x, 0<x<=1，则
当OA//CB且同向时最大，为2x(x+2)，
当OA//CB且反向时最小，为2x(x-2)，
所以只需求2x(x+2)的最大值以及2x(x-2)的最小值，
前者显然当x=1取最大值6，
后者由均值知当x=1取最小值-2。