任意一点的 $u$ 值等于其相邻点四个值的平均值

hbghlyj

设函数 $u:\mathbb{Z}^2\to\mathbb{R}$ 满足均值性质：$\mathbb{Z}^2$ 中任意一点的 $u$ 值等于其相邻点四个值的平均值。
$$
     u(m,n) = \frac{1}{4} \left[ u(m+1,n) + u(m-1,n) + u(m,n+1) + u(m,n-1) \right]
$$如果对于所有 $(m,n)\in\mathbb{Z}^2$，$|u(m,n)|\le 1$，则 $u$ 为常数。

已找到答案：math.stackexchange.com/questions/1890250/discrete-harmonic-function-problem

证明：首先证明一个均值性质$$f(x,y) = \frac{1}{4r}\sum\limits_{|a_1|+|a_2|=r} f(x+a_1,y+a_2)$$然后用这个性质证明 $f(x,y)$ 等于任何“球”（即 $\{(x+a,y+b)\colon |a|+|b|\leq r\}$）上的平均值。

现在考虑点 $(x_1,y_1)$ 和 $(x_2,y_2)$。如果我们在这两个点周围取越来越大的球，它们将以越来越大的比例相交。因为我们假设 $f$ 是有界的，这意味着 $f$ 在这些球上的平均值将随着半径趋于无穷大而收敛到同一个数。

我们得出结论
$$f(x_1,y_1)=f(x_2,y_2)$$
因此函数是常数。

kuing

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