齐次三次方程组有非零解的充要条件

hbghlyj

关于$w_0,w_1,x_0,x_1,y_0,y_1,z_0,z_1$的方程组\[\left\{\begin{aligned} & \sum_{j,k,l\in\{0,1\}} t_{i j k l} x_j y_k z_l=0 &i\in\{0,1\}\\ & \sum_{i,k,l\in\{0,1\}} t_{i j k l} w_i y_k z_l=0 &j\in\{0,1\}\\ & \sum_{i,j,l\in\{0,1\}} t_{i j k l} w_i x_j z_l=0 &k\in\{0,1\}\\ & \sum_{i,j,k\in\{0,1\}} t_{i j k l} w_i x_j y_k=0 &l\in\{0,1\}\end{aligned}\right.\]有非零解的充要条件是关于$z_1$的四次方程 (因为齐次,可以设$z_0=1$,则变量只有$z_1$.)$$(-a_{000} a_{111}+a_{001} a_{110}-a_{010} a_{101}+a_{011} a_{100})^2-4 (a_{001} a_{100}-a_{000} a_{101}) (a_{011} a_{110}-a_{010} a_{111})=0$$的判别式为零，其中$\displaystyle a_{ijk}=\sum_{l\in\{0,1\}}t_{ijkl}z_l$  对于$i,j,k\in\{0,1\}$.
如何证明

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关于$w_0,w_1,x_0,x_1,y_0,y_1,z_0,z_1$的方程组可以输入Mathematica：

1. {t0000 x0 y0 z0+t0001 x0 y0 z1+t0010 x0 y1 z0+t0011 x0 y1 z1+t0100 x1 y0 z0+t0101 x1 y0 z1+t0110 x1 y1 z0+t0111 x1 y1 z1,t1000 x0 y0 z0+t1001 x0 y0 z1+t1010 x0 y1 z0+t1011 x0 y1 z1+t1100 x1 y0 z0+t1101 x1 y0 z1+t1110 x1 y1 z0+t1111 x1 y1 z1,t0000 w0 y0 z0+t0001 w0 y0 z1+t0010 w0 y1 z0+t0011 w0 y1 z1+t1000 w1 y0 z0+t1001 w1 y0 z1+t1010 w1 y1 z0+t1011 w1 y1 z1,t0100 w0 y0 z0+t0101 w0 y0 z1+t0110 w0 y1 z0+t0111 w0 y1 z1+t1100 w1 y0 z0+t1101 w1 y0 z1+t1110 w1 y1 z0+t1111 w1 y1 z1,t0000 w0 x0 z0+t0001 w0 x0 z1+t0100 w0 x1 z0+t0101 w0 x1 z1+t1000 w1 x0 z0+t1001 w1 x0 z1+t1100 w1 x1 z0+t1101 w1 x1 z1,t0010 w0 x0 z0+t0011 w0 x0 z1+t0110 w0 x1 z0+t0111 w0 x1 z1+t1010 w1 x0 z0+t1011 w1 x0 z1+t1110 w1 x1 z0+t1111 w1 x1 z1,t0000 w0 x0 y0+t0010 w0 x0 y1+t0100 w0 x1 y0+t0110 w0 x1 y1+t1000 w1 x0 y0+t1010 w1 x0 y1+t1100 w1 x1 y0+t1110 w1 x1 y1,t0001 w0 x0 y0+t0011 w0 x0 y1+t0101 w0 x1 y0+t0111 w0 x1 y1+t1001 w1 x0 y0+t1011 w1 x0 y1+t1101 w1 x1 y0+t1111 w1 x1 y1}

复制代码

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一共是8个方程。对于前6个方程，利用$\displaystyle a_{ijk}=\sum_{l\in\{0,1\}}t_{ijkl}z_l$就可以写成
\[\left\{\begin{aligned} & \sum_{i,j\in\{0,1\}} a_{i j k} w_i x_j=0 &k\in\{0,1\}\\ & \sum_{i,k\in\{0,1\}} a_{i j k} w_i y_k=0 &j\in\{0,1\}\\ & \sum_{j,k\in\{0,1\}} a_{i j k} x_j y_k=0&i\in\{0,1\}\end{aligned}\right.\]
然后使用齐次二次方程组有非零解的充要条件得\[(-a_{000} a_{111}+a_{001} a_{110}-a_{010} a_{101}+a_{011} a_{100})^2-4 (a_{001} a_{100}-a_{000} a_{101}) (a_{011} a_{110}-a_{010} a_{111})=0\]这是一个关于$z_1$的四次方程 (因为齐次,可以设$z_0=1$,则变量只有$z_1$.)
为什么原方程组有非零解等价于这个关于$z_1$的四次方程有重根？ 没看明白这里的解释。