$-1$的3次方根 在四元数中

hbghlyj

我们知道四元数中 $-1$ 的平方根的集合是虚球 $S^2=\{bi+cj+dk|b,c,d\inR,b^2+c^2+d^2=1\}$
我想請問$-1$的立方根是哪些呢？
如果$x$是$-1$的立方根，且$x\ne-1$，那麼就有$x^2-x+1=0$
所以這二次方程的解是$x=\frac{1\pm\sqrt{3}u}2$，其中$u$ 是 $-1$ 的平方根，也就是虚球$S^2$的元素。

hbghlyj

举一个对称的例子，在上面取$u=\frac1{\sqrt3}(i+j+k)$，得x = 1/2 + 1/2i + 1/2j + 1/2k，也就是绕 (1,1,1) 旋转 2π/3 角度对应的四元数。
它的立方：
(1/2 + 1/2i + 1/2j + 1/2k) × (1/2 + 1/2i + 1/2j + 1/2k) × (1/2 + 1/2i + 1/2j + 1/2k)
算出來是 $-1$