多项式都可以表示为根多项式与调和多项式的乘积的有限和

hbghlyj

对于两个变量$x,y$，
根多项式就是关于$x^2+y^2$的多项式，如$a+b(x^2+y^2)+c(x^2+y^2)^2$，其中$a,b,c$为常数
调和多项式就是以下$\phi_0,\phi_{1,1},\phi_{1,2},\dots,\phi_{n,1},\phi_{n,2},\dots$的线性组合，$\phi_{n,1},\phi_{n,2}$是$(x+iy)^n$的实部和虚部
\begin{align*}
\phi_{0}  (x,y) &= 1 \\
\phi_{1,1}(x,y) &= x                               & \phi_{1,2}(x,y) &= y \\
\phi_{2,1}(x,y) &= x^2 - y^2                             & \phi_{2,2}(x,y) &= x y \\
\phi_{3,1}(x,y) &= x^3 - 3 x y^2                   & \phi_{3,2}(x,y) &= y^3 - 3 x^2 y \\
\phi_{4,1}(x,y) &= x^4 - 6 x^2 y^2 + y^4                   & \phi_{4,2}(x,y) &= x^3 y - x y^3 \\
\phi_{5,1}(x,y) &= x^5 - 10 x^3 y^2 + 5 x y^4      & \phi_{5,2}(x,y) &= 5 x^4 y - 10 x^2 y^3 + y^5 \\
\phi_{6,1}(x,y) &= x^6 - 15 x^4 y^2 + 15 x^2 y^4 - y^6  & \phi_{6,2}(x,y) &=3 x^5 y - 10 x^3 y^3 + 3 x y^5
\end{align*}

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Wikipedia写道：
每个多项式都可以表示为有限个项的和，其中每个项都是根多项式与调和多项式的乘积。

如何证明呢？

hbghlyj

每个多项式都可以表示为有限项的和，每一项都是一个根式多项式和一个调和多项式的乘积。例如，考虑二元二次多项式
$$p(x,y):=a_{0,0}+a_{1,0}x+a_{0,1}y+a_{1,1}xy+a_{2,0}x^{2}+a_{0,2}y^{2}$$
可以将 $p(x,y)$ 写为
\[p(x,y)=\frac{a_{2,0}+a_{0,2}}2(x^2+y^2)+\frac{a_{2,0}-a_{0,2}}2(x^2-y^2)+a_{1,1}xy+a_{1,0}x+a_{0,1}y+a_{0,0},\]
其中第一项是根式多项式，其他项是调和多项式。

hbghlyj

现在考虑三次齐次二元多项式：
\[p(x,y):=a_{3,0}x^{3}+a_{0,3}y^{3}+a_{2,1}x^{2}y+a_{1,2}xy^{2}.\]
注意 $y^3 - 3 x^2 y$ 和 $x^3 - 3 x y^2$ 是调和多项式。我们可以将 $p(x,y)$ 写为
\[p(x,y)=(x^2+y^2)(c_1 x+c_2 y)+c_3(x^3-3xy^2)+c_4(y^3-3x^2y),\]
其中 $c_1,c_2,c_3,c_4$ 需要确定。我们有
\begin{align*}
c_1+c_3&=a_{3,0},\\
c_1-3c_3&=a_{1,2},\\
c_2+c_4&=a_{0,3},\\
c_2-3c_4&=a_{2,1}.\\
\end{align*}
解这个方程组，我们得到
\begin{align*}
c_1&=\frac{3a_{3,0}+a_{1,2}}4,\\
c_3&=\frac{a_{3,0}-a_{1,2}}4,\\
c_2&=\frac{3a_{0,3}+a_{2,1}}4,\\
c_4&=\frac{a_{0,3}-a_{2,1}}4.
\end{align*}
因此，我们将 $p(x,y)$ 表示为
\[p(x,y)=\frac{3a_{3,0}+a_{1,2}}4x(x^2+y^2)+\frac{3a_{0,3}+a_{2,1}}4y(x^2+y^2)+\frac{a_{3,0}-a_{1,2}}4(x^3-3xy^2)+\frac{a_{0,3}-a_{2,1}}4(y^3-3x^2y).\]
一般的$n$次多项式呢？

hbghlyj

啊，我知道了！先把关于$x,y$的多项式表示为$x+iy,x-iy$的多项式，展开后，每一项都是$(x+iy)^m(x-iy)^n$乘以一个常数。
$(x+iy)^n$的实部和虚部都是调和多项式，那么$(x-iy)^n$的实部和虚部都是调和多项式，而$x^2+y^2=(x+iy)(x-iy)$是根多项式。所以展开后每一项都能写成一个根多项式与一个调和多项式之积。

以上是二元的证明。
变量更多的多项式如何证明呢？