[考古] 在公元前18世纪估算$\sqrt2$

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YBC 7289是一片古巴比伦黏土板，其上以六十进制记载了单位正方形的对角线长$\sqrt {2}$的准确估计值，所以备受关注。这个六十进制近似数换算成十进制相当于估算$\sqrt {2}$到六位有效数字，这个近似数被称为“古典世界中目前已知估算精度最高的近似数”。这片黏土板据信是一位南美索不达米亚地区的学生的作品，作成的时间大概在公元前18世纪到公元前17世纪，被J·P·摩根连同其它一些古巴比伦黏土板捐给耶鲁大学收藏，“YBC”是收纳这件文物的耶鲁-巴比伦典藏库（英语：Yale Babylonian Collection）的名字缩写，“7289”是这件文物在其中的编号。


内容
黏土板上记有一个画着其两条对角线的正方形，正方形的一侧被标上了六十进制数字“30”，对角线被标上两个六十进制数字：

第一个六十进制数$ {\textstyle 1;24,51,10} $，转换为十进制表示是$ {\textstyle 1+{\frac {24}{60}}+{\frac {51}{60^{2}}}+{\frac {10}{60^{3}}}={\frac {305470}{216000}}\approx 1.414213} $，这个数的估算误差小于两百万分之一；
第二个六十进制数是$ {\textstyle 42;25,35} $，即十进制的$ {\textstyle 42+{\frac {25}{60}}+{\frac {35}{60^{2}}}=42.426} $。这个数是上一给定数乘以30的积，即是对边长为30的正方形的对角线长的估算。
因为巴比伦的六十进制计数法在进位方面并不明确，另一种解释是方形边长是$ {\textstyle {\frac {30}{60}}={\frac {1}{2}}} $。这么解释的话，对角线上的数是$ {\textstyle {\frac {30547}{43200}}=0.70711} $，即$ {\textstyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}} $的近似估计值，估计的误差也比二百万分一还小。

在1945年，奥托·纽格伯尔和亚伯拉罕·萨克斯最早发现泥板的数学意义。“这块泥板呈现给我们古典时代全世界最高的计算精度（demonstrates the greatest known computational accuracy obtained anywhere in the ancient world）”，精度相当于六位十进制有效数字。其它黏土板有关于计算六边形和七边形面积的，用到了$ {\sqrt {3}} $这种更复杂的代数数的估算值。这样精确的一个√3的估计可解释，古埃及人在建设金字塔时计算各维度的尺寸时为何这么准确。YBC 7289上所写的数字精度更高，所以很明确的是上记的各种代数数的近似值是一种寻常计算的结果，而不只是一个估计值。

托勒密在《天文学大成》一书中亦应用了巴比伦人对$ {\sqrt {2}} $的六十进制$ 1;24,51,10 $估计值。托勒密没说他的这个值是从哪里来的，也许这个值当时已经是人尽皆知了。