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黄冈地处湖北省东部，以山带水，胜迹如云,为了合理配置旅游资源，管理部门对首次来黄冈旅游的游客进行了问卷调查，据统计，其中$\frac{1}{3}$的人计划只参观罗田天堂寨，另外$\frac{2}{3}$的人计划既参观罗田天堂寨又游览东坡赤壁。每位游客若只参观罗田天堂寨，则记1分:若既参观罗田天堂寨又游览东坡赤壁，则记2分。假设每位首次来黄冈旅游的游客计划是否游览东坡赤壁相互独立，视频率为概率.
(1)从游客中随机抽取2人，记这2人的合计得分为X，求X的分布列和数学期望:
(2)从游客中随机抽取$n$人，记这$n$人的合计得分恰为$n+1$分的概率为$P_n$，求$P_n$
(3)从游客中随机抽取若干人，记这些人的合计得分恰为$n$分的概率为$a_n$，随着抽取人数的无限增加，$a_n$是否趋近于某个常数?若是，求出这个常数;若不是，请说明理由.
主要是这个题的第三问，我这样拆解，记抽取$k$个人，这$k$个人的合计得分为$n$分的概率为$b_{k,n}$，我们有递推关系$b_{k,n}=\frac{1}{3}b_{k-1,n-1}+\frac{2}{3}b_{k-1,n-2}$，以及$\sum_{n=1}^{\infty}b_{k,n}=1$.
对任意给定的$n$，把所有的$b_{k,n}$加起来即$\sum_{k=1}^{\infty}b_{k,n}=a_n$，现在就是要求$a_n$.
打出来的表格如下：
| n\k | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | | 1 | $\frac{1}{3}$ | 0 | 0 | | | | | 2 | $\frac{2}{3}$ | $\frac{1}{9}$ | 0 | | | | | 3 | 0 | $\frac{4}{9}$ | $\frac{1}{27}$ | | | | | 4 | 0 | $\frac{4}{9}$ | $\frac{6}{27}$ | | | | | 5 | 0 | 0 | $\frac{12}{27}$ | | | | | 6 | 0 | 0 | $\frac{8}{27}$ | | | |
答案的解法有两种，一种是由递推关系$a_n=\frac{1}{3}a_{n-1}+\frac{2}{3}a_{n-2}$，
这个比较好理解：$b_{k,n}=\frac{1}{3}b_{k-1,n-1}+\frac{2}{3}b_{k-1,n-2}$对$k$求和即可.
另一种是由递推关系$a_n+\frac{2}{3}a_{n-1}=1$，按我这种拆解的方式，无法得到这个等式，只能得到$a_n+\frac{2}{3}a_{n-1}=a_{n-1}+\frac{2}{3}a_{n-2}$.
想问下这种方法，有没有简单的解释方法，
答案写的是：在随机抽取的若干人合计得分为$n-1$的基础上，在抽取1人，这些人合计得分可能为$n$分(事件A)和$n+1$分(事件B)，它们是对立事件.所以$1=P(A)+P(B)$，而$P(A)=a_n,P(B)=\frac{2}{3}a_{n-1}$.
自己对这种方法理解的似是而非，比如为什么$P(A)$是$\frac{1}{3}a_{n-1}$.
还请大家开释.(当然这个题的表述是有问题的，但是按我的拆解是能说得通的.)
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战巡
发表于 2024-12-12 00:52
