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设$A_1=0, A_2=1$，当$n>2$时，定义$A_n$为把$A_{n-1}, A_{n-2}$的十进制按从左到右的次序连接起来得到的数，例如$A_3=\overline{A_2A_1}=10, A_4=\overline{A_3A_2}=101, A_5=\overline{A_4A_3}=10110$。求所有的正整数$n$，使得$11\mid A_n$。
除了模分类一个个讨论，有没有简单一点的方法呢？我自己做的是这样的：
先设$A_n$有$d_n$位数，然后考虑$A_n=\overline{A_{n-1}A_{n-2}}=A_{n-1}\cdot10^{d_{n-2}}+A_{n-2}=A_{n-1}\cdot(11-1)^{d_{n-2}}+A_{n-2}$，所以$A_n\bmod11=[(-1)^{d_{n-2}}A_{n-1}+A_{n-2}]\bmod11$，然后$d_n$是斐波那契数列，因为在$-1$的指数上，所以考虑它模$2$的结果，将$n$模$3$分类可知，当$n=3k+1,3k+2$时$d_n\bmod2=1$，当$n=3k$时$d_n\bmod2=0$。然后再把$n$按模$6$分类，一个个地去算$A_n\bmod11$的结果，最后得出当$n=6k+1$时有$11\mid A_n$。
最后这个分类讨论太长太麻烦了，有没有简单一点的呢？ |
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