来自人教群：双三元不等式

kuing

渝A-教师-石崇的BOSS

大神们，来活了

证明：由柯西有
\begin{align*}
\sum\left(\frac b{c+a}+\frac c{a+b}\right)x^2&=\sum\frac a{b+c}(y^2+z^2)\\
&=\sum\left(\frac{a+b+c}{b+c}-1\right)(y^2+z^2)\\
&=\frac12(b+c+c+a+a+b)\sum\frac{y^2+z^2}{b+c}-2\sum x^2\\
&\geqslant\frac12\left(\sum\sqrt{y^2+z^2}\right)^2-2\sum x^2\\
&=\sum\sqrt{y^2+z^2}\sqrt{x^2+z^2}-\sum x^2\\
&\geqslant\sum(xy+z^2)-\sum x^2\\
&=xy+yz+zx.
\end{align*}

kuing

上面的证明实际上得到了加强式：`a`, `b`, `c`, `x`, `y`, `z>0` 则
\[\sum\frac a{b+c}(y+z)\geqslant\sum\sqrt{(z+x)(x+y)}-\sum x.\]
这是老题，我在《撸题集》P.480 里就提到过，不过当时我只说“有点眼熟”而没写证明，可能没想出来，其实 1# 的柯西证法也不算难想啊……