$\sum_{x=a,b,c}\sqrt{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}=1$，求整数$a,b,c$

abababa

$\sqrt{\sqrt{a+1}-\sqrt{a}}+\sqrt{\sqrt{b+1}-\sqrt{b}}+\sqrt{\sqrt{c+1}-\sqrt{c}}=1$，求整数$a, b, c$。

abababa

不妨设$a\le b\le c$，然后显然有$a>0$，所以可以设$0<a\le b\le c$。设$f(x)=\sqrt{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}$，于是$f(a)\ge f(b)\ge f(c)$，而$f(a)+f(b)+f(c)=1$，所以$f(a)\ge\frac{1}{3}$，用软件算出整数$a$满足$0\le a\le19$。后面怎么办呢？穷举实在太多了。

然后根据$f(b)\ge f(c)$，还有$f(b)\ge\frac{1-f(a)}{2}$。

当$a=1$时有$1=a\le b\le247$
当$a=2$时有$2=a\le b\le109$
当$a=3$时有$3=a\le b\le73$
当$a=4$时有$4=a\le b\le56$
当$a=5$时有$5=a\le b\le47$
当$a=6$时有$6=a\le b\le41$
当$a=7$时有$7=a\le b\le36$
当$a=8$时有$8=a\le b\le33$
当$a=9$时有$9=a\le b\le30$
当$a=10$时有$10=a\le b\le28$
当$a=11$时有$11=a\le b\le27$
当$a=12$时有$12=a\le b\le25$
当$a=13$时有$13=a\le b\le24$
当$a=14$时有$14=a\le b\le23$
当$a=15$时有$15=a\le b\le22$
当$a=16$时有$16=a\le b\le22$
当$a=17$时有$17=a\le b\le21$
当$a=18$时有$18=a\le b\le20$
当$a=19$时有$19=a\le b\le20$
当$a=20$时有$20=a\le b\le19$，矛盾，到这里就没有解了。

abababa

abababa 发表于 2024-12-31 16:17
不妨设$a\le b\le c$，然后显然有$a>0$，所以可以设$0<a\le b\le c$。设$f(x)=\sqrt{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}$ ...

用Mathematica来穷举，还是有一些没能运行出来，比如当$a\le5$时，那些结果都没能运行完。已经运行完的，只得到了两个解，都是当$a=8$时的解：

1. f[x_] := Sqrt[Sqrt[x + 1] - Sqrt[x]];
2. Table[Solve[f[8] + f[k] + f[c] == 1, {c}, Integers], {k, 8, 33}]

复制代码

只有$a=8,b=8,c=288$和$a=8,b=24,c=48$这两个解。

怎么才能让它运行得更快一些呢？特别是当$1\le a\le5$时，软件运行了半小时，没得出结果，是不是上面那个写得不对呢？

abababa

abababa 发表于 2024-12-31 17:32
用Mathematica来穷举，还是有一些没能运行出来，比如当$a\le5$时，那些结果都没能运行完。已经运行完的， ...

换了一个方式，判断这个数值解是不是等于不超过它的最大整数，这样快多了。

1. f[x_] := Sqrt[Sqrt[x + 1] - Sqrt[x]];
2. Table[If[N[(-1+(1-f[a]-f[b])^2)^2/(4 (1-f[a]-f[b])^2)]==Floor[N[(-1+(1-f[a]-f[b])^2)^2/(4 (1-f[a]-f[b])^2)]],{a,b},Nothing],{a,1,19},{b,1,247}]

复制代码

N[表达式]里的“表达式”，就是$c$的值。输出是

1. {{},{},{},{},{},{},{},{{8,24},{8,48}},{},{},{},{},{},{},{},{},{},{},{}}

复制代码

那些空的括号不知道是什么意思，但是解出了$a=8,b=24$和$a=8,b=48$这两个整数解，看这样也只有这两个整数解。

kuing

abababa 发表于 2025-1-1 10:14
换了一个方式，判断这个数值解是不是等于不超过它的最大整数，这样快多了。

不是还有 8 8 288 吗，这个怎么没输出

kuing

abababa 发表于 2025-1-1 10:14
换了一个方式，判断这个数值解是不是等于不超过它的最大整数，这样快多了。

c 的表达式是不是也不对，f 的反函数是 (1-x^4)^2/(4x^4) 喔

kuing

kuing 发表于 2025-1-1 15:22
不是还有 8 8 288 吗，这个怎么没输出

用 Solve[f[c] + 2 f[8] == 1, c] 算出当 a=b=8 时 c=(32 (11846 - 675 Sqrt[2] + 11113 Sqrt[3 - 2 Sqrt[2]] + 10438 Sqrt[2 (3 - 2 Sqrt[2])]))/2401
然而：

1. N[(32 (11846 - 675 Sqrt[2] + 11113 Sqrt[3 - 2 Sqrt[2]] + 10438 Sqrt[2 (3 - 2 Sqrt[2])]))/2401]
2. Floor[N[(32 (11846 - 675 Sqrt[2] + 11113 Sqrt[3 - 2 Sqrt[2]] + 10438 Sqrt[2 (3 - 2 Sqrt[2])]))/2401]]

复制代码

分别输出 288. 和 287 😳
或许在内部那个 N 实际上得出的是 287.999... 所以掉下去了？

将 Floor 改成 Round 应该就可以

abababa

kuing 发表于 2025-1-1 15:39
用  算出当 a=b=8 时 c=(32 (11846 - 675 Sqrt[2] + 11113 Sqrt[3 - 2 Sqrt[2]] + 10438 Sqrt[2 (3 - 2 S ...

原来如此，改成Round，还多出一个答案：

1. f[x_]:=Sqrt[Sqrt[x+1]-Sqrt[x]];
2. Table[If[N[(-1 + (1 - f[a] - f[b])^4)^2/(4 (1 - f[a] - f[b])^4)] ==
3.    Round[N[(-1 + (1 - f[a] - f[b])^4)^2/(4 (1 - f[a] - f[b])^4)]], {a,
4.     b, Round[
5.     N[(-1 + (1 - f[a] - f[b])^4)^2/(4 (1 - f[a] - f[b])^4)]]},
6.   Nothing], {a, 1, 19}, {b, 1, 247}]

复制代码

输出是

1. {{{1, 15, 12945543425620746240}}, {}, {}, {}, {}, {}, {}, {{8, 8,
2.    288}, {8, 24, 48}, {8, 48, 24}}, {}, {}, {}, {}, {}, {}, {{15, 1,
3.    12945543425620746240}}, {}, {}, {}, {}}

复制代码

解是对称的，找到了$a=8,b=8$这个解，但$a=1,b=15$那个事实上不是解。

kuing

abababa 发表于 2025-1-1 16:34
原来如此，改成Round，还多出一个答案：

多出那个答案估计是因为那个 c 太大，N 的精度不足以精确到小数点后……
给 N 加个精度参数就可以排除它，经测试，22 才可以。
我的写法：

1. f[x_] = Sqrt[Sqrt[1 + x] - Sqrt[x]];
2. g[x_] = (1 - x^4)^2/(4 x^4);
3. Do[If[N[g[1 - f[a] - f[b]], 22] == Round[N[g[1 - f[a] - f[b]], 22]],
4.   Print[{a, b, N[g[1 - f[a] - f[b]]]}]], {a, 1, 19}, {b, a, Floor[g[(1 - f[a])/2]]}]

复制代码

abababa

kuing 发表于 2025-1-1 17:29
多出那个答案估计是因为那个 c 太大，N 的精度不足以精确到小数点后……
给 N 加个精度参数就可以排除它 ...

软件还是厉害啊，数学方法怎么做这题呢？

isee

太狠了，竟然能脱~去~根式，最后还根式正好消了
---
我转到知乎去问问

睡神

或许可以这样考虑一下：

    $\sqrt{\sqrt{a+1}-\sqrt{a}}+\sqrt{\sqrt{b+1}-\sqrt{b}}+\sqrt{\sqrt{c+1}-\sqrt{c}}$

$=\sqrt{\dfrac{\sqrt{a+1}+1}{2}}-\sqrt{\dfrac{\sqrt{a+1}-1}{2}}+\sqrt{\dfrac{\sqrt{b+1}+1}{2}}-\sqrt{\dfrac{\sqrt{b+1}-1}{2}}+\sqrt{\dfrac{\sqrt{c+1}+1}{2}}-\sqrt{\dfrac{\sqrt{c+1}-1}{2}}$

$=1$

睡神

猜测：

“$\sum_{i=1}^n\left(\sqrt{\dfrac{\sqrt{a_i}+1}{2}}-\sqrt{\dfrac{\sqrt{a_i}-1}{2}}\right)$为有理数”的必要条件是“$\sqrt{a_i}$为有理数”，其中$a_i$为有理数.

睡神

不妨令$a\le b\le c$

由猜测可知，$\sqrt{a+1},\sqrt{b+1},\sqrt{c+1}$均为整数，且为奇数

不妨设$x=\sqrt{\dfrac{\sqrt{a+1}-1}{2}},y=\sqrt{\dfrac{\sqrt{b+1}-1}{2}},z=\sqrt{\dfrac{\sqrt{c+1}-1}{2}}$

则$\sqrt{x^2+1}-x+\sqrt{y^2+1}-y+\sqrt{z^2+1}-z=1$，且$x\le y\le z$

易知，$\sqrt{x^2+1},x,\sqrt{y^2+1},y,\sqrt{z^2+1},z$中至少有两个整数，至多有三个整数

而$\sqrt{z^2+1}\ge \sqrt{y^2+1}\ge \sqrt{x^2+1}>x$

(1) 当$\sqrt{x^2+1},\sqrt{y^2+1},\sqrt{z^2+1}$与$x,y,z$中各有一个整数时，

     经分析，只能是$\sqrt{z^2+1},x$

     $\begin{cases} \sqrt{z^2+1}-x=1 \\ \sqrt{x^2+1}-y=0 \\ \sqrt{y^2+1}-z=0 \end{cases} \riff \begin{cases} x=1 \\ y=\sqrt2 \\ z=\sqrt3 \end{cases} \riff \begin{cases} a=8 \\ b=24 \\ c=48 \end{cases}$

(2) 当$\sqrt{x^2+1},\sqrt{y^2+1},\sqrt{z^2+1}$有一个整数，且$x,y,z$中有两个整数时，

     经分析，只能是$\sqrt{z^2+1},x,y$

      $\begin{cases} \sqrt{z^2+1}-x-y=1 \\ \sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}-z=0 \end{cases} \riff \begin{cases} x=1 \\ y=1 \\ z=2\sqrt2 \end{cases} \riff \begin{cases} a=8 \\ b=8 \\ c=288 \end{cases}$

(3) 当$\sqrt{x^2+1},\sqrt{y^2+1},\sqrt{z^2+1}$有两个整数，且$x,y,z$中有一个整数时，

     经分析，只能是$\sqrt{x^2+1},\sqrt{y^2+1},z$

      $\begin{cases} \sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}-z=1 \\ \sqrt{z^2+1}-x-y=0 \end{cases} \riff 2z(xy-1)=1\riff$方程组无解

abababa

睡神 发表于 2025-1-18 15:55
不妨令$a\le b\le c$

由猜测可知，$\sqrt{a+1},\sqrt{b+1},\sqrt{c+1}$均为整数，且为奇数

就算假设成立，这个推理也不行吧，比如(1)，当只有$\sqrt{z^2+1},x$是整数时，但是$\sqrt{x^2+1}=2+\sqrt{3},y=3+\sqrt{3}$也满足只有$\sqrt{z^2+1},x$是整数的条件，怎么能排除这种情况呢？